高等数学第七章微分方程试题及答案

10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时， 液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）.

(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.

解： 液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：

223?22??t，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与?(y)之间的关

系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可. (1) 设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为??(y)?4???t, 从而 t??(y)?4.

(2) 液面的高度为y时，液体的体积为?222?y0?2(u)du?3t?3?2(y)?12.

上式两边对y求导，得 ??(y)?6?(y)??(y)，即 ??(y)?6??(y).

?解此微分方程，得 ?(y)?Ce6，其中C为任意常数，

?y由?(0)?2知C=2，故所求曲线方程为：x?2e

6y.