高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章 常微分方程

一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：

dydx?P?x?Q?y??Q?y??0? 通解?dyQ?y???P?x?dx?C （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）

（2）方程形式：M1?x?N1?y?dx?M2?x?N2?y?dy?0

通解?M1?x?M?x?dx??N2?y?Ndy?C ?M2?x??0,N1?y??0? 21?y? 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程

dydx?f??y??x?? 令

y?u， 则dy?u?xdu?f?duxdxdxu? ?f?u??u??dxx?c?ln|x|?c

二．一阶线性方程及其推广

1．一阶线性齐次方程

dydx?P?x?y?0它也是变量可分离方程，

通解y?Ce??P?x?dx，（c为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程

dydx?P?x?y?Q?x? 用常数变易法可求出通解公式 令y?C?x?e??P?x?dx 代入方程求出C?x?则得

y?e??P?x?dx??Q?x?e?P?x?dxdx?C?

3．伯努利方程

dydx?P?x?y?Q?x?y????0,1? 令z?y1??把原方程化为dzdx??1???P?x?z??1???Q?x? 再按照一阶线性

非齐次方程求解。

4．方程：

dydx?1dxQ?y??P?y?x可化为dy?P?y?x?Q?y? 以y为自变量，x为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

三、可降阶的高阶微分方程 方程类型 解法及解的表达式 通解y????f?x??dx?nn?1n?2y?n??f?x? ????C1x?C2x???Cn?1x?Cn n次令y??p，则y???p?，原方程? y???f?x,y??p??f?x,p?——一阶方程，设其解为p?g?x,C1?， 即y??g?x,C1?，则原方程的通解为y??g?x,C1?dx?C2。 令y??p，把p看作y的函数，则y???dpdpdydx?dy?dx?pdpdy dpy???f?y,y??把y?，y??的表达式代入原方程，得dy?1pf?y,p?—一阶方程， 设其解为p?g?y,Cdy1?,即dxg?y,C1?，则原方程的通解为 ?dyg?y,Cx?C2。 1??

四．线性微分方程解的性质与结构

我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的

线性微分方程。 二阶齐次线性方程 y???p?x?y??q?x?y?0 （1） 二阶非齐次线性方程 y???p?x?y??q?x?y?f?x? （2） 1．若y1?x?，y2?x?为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

C1y1?x??C2y2?x?（C1，C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当y1?x???y2?x?（?为常数），也即y1?x?与y2?x?线性无关时，则方程的通解

为y?C1y1?x??C2y2?x?

2．若y1?x?，y2?x?为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1?x??y2?x?为

对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3．若y?x?为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y?x?为对应的二阶齐次线性

方程的任意特解，则y?x??y?x?为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1?x??C2y2?x?为对应的二

阶齐次线性方程的通解（C1，C2为独立的任意常数）则

y?y?x??C1y1?x??C2y2?x?是此二阶非齐次线性方程的通解。

5．设y1?x?与y2?x?分别是y???p?x?y??q?x?y?f1?x?与 y???p?x?y??q?x?y?f2?x?的特解，则y1?x??y2?x?是 y???p?x?y??q?x?y?f1?x??f2?x?的特解。

五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程

y???py??qy?0 其中p，q为常数， 特征方程?2?p??q?0

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

（1）特征方程有两个不同的实根?1，?2则方程的通解为y?C1x?2x1e??C2e

（2）特征方程有二重根?1??2 则方程的通解为y??C1?C2x?e?1x

（3）特征方程有共轭复根??i?， 则方程的通解为y?e?x?C1cos? x?C2sin? x?

2．n阶常系数齐次线性方程

y?n??p?n?1??pn?2?1y2y????pn?1y??pny?0其中pi?i?1,2,?,n?为常数。 相应的特征方程? n?pn?1n?21? ?p2? ???pn?1??pn?0

特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

（1）若特征方程有n个不同的实根? 1,?2,?,?n则方程通解

y?C2xnx1e?1x?C2e????Cne?

（2）若?0为特征方程的k重实根?k?n?则方程通解中含有

y=?Ck?11?C2x???Ckx?e?0x

（3）若??i?为特征方程的k重共轭复根?2k?n?，则方程通解中含有

e?x??C1?C2x???Ck?1kx?cos? x??Dk?11?D2x???Dkx?sin? x?

由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。

六、二阶常系数非齐次线性方程

方程：y???py??qy?f?x? 其中p,q为常数 通解：y?y?C1y1?x??C2y2?x?

其中C1y1?x??C2y2?x?为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？

1．f?x??P?xn?x?e其中Pn?x?为n次多项式，?为实常数，

（1）若?不是特征根，则令y?R?xn?x?e （2）若?是特征方程单根，则令y?xR?xn?x?e （3）若?是特征方程的重根，则令y?x2R?xn?x?e

2．f?x??P?x?xn?x?esin? x 或 f?x??Pn?x?ecos? x

其中Pn?x?为n次多项式，?,?皆为实常数

（1）若??i?不是特征根，则令y?e?x?Rn?x?cos? x?Tn?x?sin? x? （2）若??i?是特征根，则令y?xe?x?Rn?x?cos? x?Tn?x?sin? x?

例题：

一、齐次方程

1.求y2?x2dydx?xydydx的通解 ?y?2解：y2?(x2?xy)dydyy2??x??dx?0dx?xy?x2???y? ?x???1yx?u,则u?xduu2令dx?u?1 udx?x(1?u)du?0

y?1?udxudu??x?C1，ln|xu|?u?C1，xu?eC1?u?ceu,?y?cex 2. ?x??1?ey?x?dx?ey??x??????1?y???dy?0 xey??x?1?解：dx??y???dy?x，令x1?eyy?u,x?yu.(将y看成自变量) dxdy?u?ydudy, 所以 u?ydudy?eu(u?1)1?eu duueudy??eu1?eu?u??u?euy1?eu 1?euu?eudu??dyy, d(u?eu)u?eu??dyy, ln???u?eu??c?????lny?ln1y 1u??xy?euc, y?ccu?eu??xx, ?ey?x?yey???c??. ?y二、一阶线形微分方程

1.ydx?(y?x)dy?0,y(0)?1.

?解：可得?dx?dy?xy??1. 这是以y为自变量的一阶线性方程解得 x?y(c?lny). ??x(1)?0x(1)?0, c?0. 所以得解 x??ylny.

dyy2.求微分方程的通解 ?dxx?y4dxx?y4dx1?即?x?y3，是一阶线性方程解：变形得：dyydyy2.2y''?(y')?y，y(0)?2,y'(0)?1 解：令y'?p，则y''?p2dpdp?p2?y ，得到 2pdydy1P(y)??,Q(y)?y3 x?e1?dyy???ye1??dy3y?14dy?C??y?Cy

令p?u, 得到

2du?u?y为关于y的一阶线性方程. dyy????3三、伯努力方程xy'?y?x3y6

解：xy?6y'?y?53， dy?6y?5?xdxy?x?x2，

令y?5?u, ?5y?6y'?u', ?u?5?ux?x2，u'?5xu??5x2.

解得 u?x5(c?5?22x)， 于是 y?5?cx5?532x

四、可降阶的高价微分方程

1.求(1?x)y???y??ln(x?1)的通解

解：令y??p,则y???p?,原方程化为(x?1)p??p?ln(x?1)

p??1x?1p?ln(x?1)x?1 属于一阶线性方程 p?e??1x?1dx??ln(x?1)e?1x?1dxdx????x?1C1???1x?1??ln(x?1)dx?C1??ln(x?1)?1?C1x?1 y????C??ln(x?1)?1?1x?1??dx?C2 ?(x?C1)ln(x?1)?2x?C2u|x?0?p2(0)?[y'(0)]2?1，解得 u?y?1?ce?y

所以 1?u|x?0?y(0)?1?ce?y(0)?2?1?ce?2, c?0.

于是 u?y?1, p??y?1

dyy?1??dx, 2y?1??x?c1, y?1??x2?c12 y(0)?2, 得到

c1x2?1, 得解 y?1??2?1 五、二阶常系数齐次线形微分方程 1.y(5)?y(4)?2y'''?2y''?y'?y?0

解：特征方程 ?5??4?2?3?2?2???1?0 (??1)(?2?1)2?0，?1??1,?2,3?i,?4,5??i

于是得解 y?c?x1e?(c2?c3x)sinx?(c4?c5x)cosx

2.y(4)?5y''?10y'?6y?0，y(0)?1,y'(0)?0,y''(0)?6,y'''(0)??14解：特征方程 ?4?5?2?10??6?0, (??1)(??3)(?2?2??2)?0

?1?1, ?2??3, ?3,4?1?i

得通解为 y?cx?3x1e?c2e?ex(c3cosx?c4sinx) 由 y(0)?1,y'(0)?0,y''(0)?6,y'''(0)??14 得到 c11??2, c12?2, c3?1, c4?1 得特解 y??12ex?12e?3x?ex(cosx?sinx)

六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求y???2y??3y?2ex的通解

解：先求齐次方程的通解，特征方程为?2?2??3?0，特征根为?1??3,?2?1。因此齐次方程通解为Y?C3x1e??C2ex

设非齐次方程的特解为y,由于??1为特征根，因此设y?xAex,

代入原方程可得A?12，故原方程的通解为y?Ce?3x?Cx1x12e?2xe

2.求方程y???y??2y?2cos2x的通解

解：特征方程为?2???2?0，特征根为?1??2,?2?1， 因此齐次方程的通解为Y?C2x1e??C2ex

设非齐次方程的特解为y,由于题目中??0,??2,??i??2i不是特征根， 因此设y?Acos2x?Bsin2x，代入原方程可得

(?2A?2B?4A)cos2x?(?2B?2A?4B)sin2x?2cos2x

?6A?2B?2，?6B?2A?0

??10,B?__解联立方程得A3110，因此y??3110cos2x?10sin2x

故原方程的通解为 y?C?2xCx311e?2e?10cos2x?10sin2x

3.y''?y?x?3sin2x?2cosx

解：特征根为???i，齐次方程的通解为：y?c1cosx?c2sinx

y''?y?x，y???c1?c2x??c1?0,c2?1?y??x

y''?y?3sin2x，y??x0e?x?c1cos?x?c2sin?x??c1sin2x?c2cos2x待入原式得出：c?1??1,c2?0，所以y??sin2x

y''?y?2cosx，y??x1e?x?c1cos?x?c2sin?x??(c1cosx?c2sinx)x

待入原式得出：c1?0,c2?1，所以y??xsinx

故原方程的通解为y?c1cosx?c2sinx?x?sin2x?xsinx 七、作变量代换后求方程的解 1.求微分方程(y?x)1?x2dydx?(1?y2)32的通解 解：令y?tanu,x?tanv, 原方程化为(tanu?tanv)secvsec2udusec2vdv?sec3u化简为sin(u?v)dudv?1 再令z?u?v,则dzdudv?dv?1,方程化为 sinzdzdv?1?sinz，?sinz(sinz?1)?11?sinzdz??dv?c,?1?sinzdz?v?c,

?z??1?sinz1?sin2zdz?v?c，?z??1?sinzcos2zdz?v?c ?z?tanz?secz?v?c最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。