热点探究课(一) 函数的图象与性质
[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．
热点1 函数图象的应用
利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，
属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．
?? 已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝?
?1，＋∞?，
2x－1，x∈?2?????
?1?cos πx，x∈?0，?，
?2?
则不
1
等式f(x－1)≤的解集为________. 【导学号：62172064】
212??47? ??4，3?∪?3，4? [画出函数f(x)的图象，如图，
????
1111当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；
2232
当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，
13
故有≤x≤.34
1
2121234
1??13?11?3
因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为?－，－?∪?，?，故f(x－1)≤的解集3??34?22?4
?12??47?为?，?∪?，?.]
?43??34?
k的取值范围．
[迁移探究1] 在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数
[解] 由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的
实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.
[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范
围．
[解] 函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有
两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由
解的个数求参数值或范围．
3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
|log2x|，0＜x＜2，??[对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f(x)＝?x＋2
，x≥2，??2x
若0＜a ＜b＜c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则
ab
的范围是________．
(1,2) [如图所示，
∵0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，
∴－log2a＝log2b，即ab＝1，
1
又由图可知＜f(c)＜1，
2
∴
ab
故1＜＝1
1
＜2，
∈(1,2)．]
热点2 函数性质的综合应用
对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在
考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键．
?角度1 单调性与奇偶性结合
(2016·天津高考改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，
0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．
?1，3? [因为f(x)是定义在R上的偶函数，
且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－?22???
x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－2)，f(－2)＝f(2)可得
2
|a－1|
113＜2，即|a－1|＜，所以＜a＜.] 222
2019高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ热点探究课1函数的图象与性质教师用书
