课时跟踪检测（十一） 等比数列的性质
层级一 学业水平达标
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( ) A．－24 C．12
B．0 D．24
解析：选A 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
a6a9解析：选D 设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，
a3a6
2即a6＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
a53．在正项等比数列{an}中，an＋1 a75A. 62C. 3 6 B. 53 D. 2 解析：选D 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1 ＝6，得a25＝6. ∴a5＝6，a4＋a6＝解得q＝ 6 ＋6q＝5. q a51?6?232 ，∴＝2＝＝. a7q?2?26 m1 4．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝ n2( ) 2 A. 33C. 2 32 B.或 23 D．以上都不对 解析：选B 设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a 22m329 n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则n＝或，故选B. 223 5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( ) A．100 C．10 000 B．－100 D．－10 000 32解析：选C ∵a3a8a13＝a38，∴lg(a3a8a13)＝lg a8＝3lg a8＝6.∴a8＝100.又a1a15＝a8＝10 000，故选C. 6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________． ??2a＝3＋b，解析：设此三数为3，a，b，则? 2 ??a－6?＝3b，????a＝3，?a＝15， ?解得或?所以这个未知数为3或27. ?b＝3???b＝27. 答案：3或27 7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6 ＋a7＝________. a513 解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3. 22a413? ＋×32＝18. ∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝??22?答案：18 8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)， 29 则第10个正方形的面积S＝a22＝211＝2 048. 10＝2· 答案：2 048 9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q. 解：法一：由条件得 44??a7q＋a7＋a7q＝28， ①? －5?a7q·a7·a7q5＝512， ②? － 由②得a37＝512，即a7＝8. 将其代入①得2q8－5q4＋2＝0. 114解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±2. 242 2 法二：∵a3a11＝a2a12＝a7， 3∴a7＝512，即a7＝8. ??a3＋a11＝20，于是有? ?a3a11＝64，? 即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16. ???a3＝4，?a3＝16， 因此?或? ?a11＝16???a11＝4. 又∵a11＝a3·q8， 14?a11?1＝±?1?1＝±1 . ∴q＝±4＝±2或q＝±?a3?8?4?848 2 10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式． 2 解：∵a1a5＝a23，a3a7＝a5， 2∴由题意，得a23－2a3a5＋a5＝36， 2同理得a23＋2a3a5＋a5＝100， 2 ??6，??a3－a5?＝36，?a3－a5＝±∴?即? 2 ??a3＋a5?＝100.???a3＋a5＝10. ?a3＝2，?a3＝8，???解得或? ??a＝8?5?a5＝2. 1a＝32，???a1＝2，?1 分别解得?或?1 ???q＝2?q＝2.∴an＝2n －2 或an＝26n. － 层级二 应试能力达标 1．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( ) A．a1＝1 C．a4＝1 B．a3＝1 D．a5＝1 解析：选B 由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又a1·a5＝a2·a4 5 ＝a23，所以a3＝1，得a3＝1. 2．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( ) A．2 C．8 B．4 D．16 解析：选C 等比数列{an}中，a3a11＝a27＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9 ＝2b7＝2a7＝8. 3．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14等于( ) A．5 C．7 B．6 D．8 解析：选C log3b1＋log3b2＋…＋log3b14＝log3 (b1b2…b14)＝log3 (b7b8)7＝7log33＝7. 4．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30 ＝( ) A．230 C．220 解析：选C ∵a1·a2·a3·…·a30＝230， 301∴a1·q ＋2＋3＋…＋29 B．210 D．215 30 ＝a1·q 29×30 ＝230， 2 27 ∴a1＝2－， 2 39×10∴a3·a6·a9·…·a30＝a10·(q) 3 2 ＝(2－ 27 ×22)10×(23)45＝220. 2 5．已知{an}为公比q＞1的等比数列，若a2 015和a2 016是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 017＋a2 018的值是______． 解析：设等比数列的公比为q. 因为a2 015和a2 016是方程4x2－8x＋3＝0的两个根， 3 所以a2 015＋a2 016＝2，a2 015·a2 016＝， 4所以a2 015(1＋q)＝2 ，① 3 a2 015·a2 015q＝，② 4① 故由2得， ②?1＋q?22216q＝3＝3. 4又因为q>1，解得q＝3， 所以a2 017＋a2 018＝a2 015·q2＋a2 015·q3. ＝a2 015(1＋q)·q2＝2×32＝18. 答案：18 6．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等 a2－a1 比数列，则＝________. b2 解析：由题意，知a2－a1＝ －1－?－7? ＝2，b22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列3 a2－a12 ＝＝－1. b2－2 中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以 答案：－1 7．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式． 22 解：依题意a25＝a1a17，即(a1＋4d)＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d，因为d≠0，所以a1 a5a1＋4d＝2d，数列{abn}的公比q＝＝＝3， a1a1 所以abn＝a13n1，① － 又abn＝a1＋(bn－1)d＝由①②得a1·3n1＝ － bn＋1 a，② 21 bn＋1 ·a1. 2 － 因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n1－1. 8．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)． (1)设bn＝an＋1＋an(n∈N*)，求证{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由已知得an＋1＋an＝3(an＋an－1)(n≥2，n∈N*)，则bn＋1＝3bn， 又b1＝3，则{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． an＋11an1 (2)由an＋1＋an＝3n，得n＋1＋·n＝. 3333an11 设cn＝n，则cn＋1＋cn＝， 333111 cn－?， 可得cn＋1－＝－?4?43?1111 －?n－1， 又c1＝，故cn－＝×?3412?3?3n－?－1?n 则an＝. 4
标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5：课时跟踪检测(十一) 等比数列的性质
