第2讲 等差数列及其前n项和
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( ) A．1 B．－1 C．－2 D．3
解析：选C.由题意可得S3＝3a1＋3d＝12＋3d＝6，解得d＝－2，故选C. 2．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( ) A．24 B．39 C．104 D．52
解析：选D.因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所以a4
13（a1＋a13）13（a4＋a10）13×8
＋a10＝8，其前13项的和为＝＝＝52，故选D.
222
1
3．(2016·新余质检)在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )
2
A．24 B．48 C．66 D．132
1
解析：选D.数列{an}是等差数列，故a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，
2
11（a1＋a11）
所以a6＝12.又S11＝＝11a6，
2
所以S11＝132.
4．(2016·淮北、淮南模拟)如果等差数列{an}中，a1＝－11，A．－11 C．11
S10S8
10
－＝2，则S11＝( ) 8
B．10 D．－10
7?n（n－1）Sn（n－1）S10S89?
解析：选A.由Sn＝na1＋d，得＝a1＋d，由－＝2，得a1＋d－?a1＋d?2?2n21082?
S1110
＝2，解得d＝2，＝a1＋d＝－11＋5×2＝－1，所以S11＝－11.
1125．(2016·江西省白鹭洲中学高三模拟)等差数列{an}中则当Sn取得最小正值时，n＝( )
A．17 B．18 C．19 D．20 解析：选A.由题意知，a1＞0，d＜0，因为
a10
＜－1，它的前n项和Sn有最大值，a9
a10
＜－1， a9
所以a10＜－a9＜0，即2a1＜－17d.
（a1＋a18）×18（2a1＋17d）×18（a1＋a17）×17（2a1＋16d）×17
所以S18＝＝＜0，S17＝＝2222
＝(a1＋8d)×17＞0.故选A.
*
6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N恒成立，则正整数k构成的集合为( ) A．{5} B．{6} C．{5，6} D．{7}
解析：选C.在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0，得
10（a1＋a10）S10＝>0?a1＋a10>0?a5＋a6>0，
2
11（a1＋a11）
＝0?a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5
2
*
＝S6≥Sn，其中n∈N，所以k＝5或6.
7．(2016·淮北质检)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________．
6×5??2a1＋d＝6a1＋d，2解析：由题意知?
S11＝??a1＋3d＝1，
??a1＝7，
解得?
?d＝－2，?
所以a5＝a4＋d＝1＋ (－2)＝－1. 答案：－1
8．(2016·驻马店调研)若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则an＝________．
4
解析：由3an＋1＝3an－4，得an＋1－an＝－，
3
4
所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－，
3
449－4n所以an＝15－(n－1)＝.
3349－4n答案： 39．(2016·东北三校联考)已知正项数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且________．
?1?anan11211
解析：因为＋＝2，所以＋＝，所以??为等差数列，且首项为＝，公差an＋1an－1an＋1an－1ana12?an?
111111n21为－＝，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝，所以a12＝. a2a12an222n6
anan＋＝2，则a12＝an＋1an－1
1答案：
6
1＋an*
10．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N，都有
anbn≥b8成立，则实数a的取值范围为________．
1*
解析：依题意得bn＝1＋，对任意的n∈N，都有bn≥b8，即数列{bn}的最小项是第8项，
an?a8＜0，??a＋7＜0，?11
于是有≥.又数列{an}是公差为1的等差数列，因此有?即?由此解得－8
ana8??a＞0，a＋8＞0，?9?
＜a＜－7，即实数a的取值范围是(－8，－7)． 答案：(－8，－7)
11．(2016·无锡质检)已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
2
解：(1)设Sn＝An＋Bn＋C(A≠0)， ?－2＝A＋B＋C，
?
则?0＝4A＋2B＋C， ??6＝9A＋3B＋C，
解得A＝2，B＝－4，C＝0，故Sn＝2n－4n. (2)证明：当n＝1时，a1＝S1＝－2；
2
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－4n－[2(n－1)－4(n－1)]＝4n－6，a1＝－2也满足．故an*
＝4n－6(n∈N)． 因为an＋1－an＝4，
所以数列{an}成等差数列．
2*
12．各项均为正数的数列{an}满足an＝4Sn－2an－1(n∈N)，其中Sn为{an}的前n项和． (1)求a1， a2的值．
(2)求数列{an}的通项公式．
2
解：(1)当n＝1时，a1＝4S1－2a1－1，
2
即(a1－1)＝0，解得a1＝1.
2
当n＝2时，a2＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2， 解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．
2
(2)an＝4Sn－2an－1，① a2n＋1＝4Sn＋1－2an＋1－1.②
22
②－①得an＋1－an＝4an＋1－2an＋1＋2an ＝2(an＋1＋an)，
即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)． 因为数列{an}各项均为正数， 所以an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．所以an＝2n－1.
22
1．(2016·唐山统考)若等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式x＋?a1－?x＋c≥0的
2?2?
解集为[0，22]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是( ) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选C.法一：因为关于x的不等式x＋?a1－?x＋c≥0的解集为[0，22]，所以c＝0，
2?2?
d2
?
d?d2
?
d?
d?d2d21d2?
，且＜0，即a1＝－d＞0，则Sn＝n＋?a1－?n＝n－11dn，所以在对称轴n2?2d222?
－2
＝11处，Sn取得最大值．
22＝
2
da1－
d?d2?
法二：因为关于x的不等式x＋?a1－?x＋c≥0的解集为[0，22]，所以c＝0，22＝
2
da1－
2－2
?2?
d，
d21dd且＜0，即a1＝－d＞0，则a11＝a1＋10d＝－＞0，a12＝a1＋11d＝＜0，故使数列{an}的2222前n项和Sn最大的正整数n的值是11.
2．(2016·河北省衡水中学模拟)有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k＝1，2，3，…，n，n≥3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．若dm＝p1d1＋p2d2(3≤m≤n，p1，p2是m的多项式)，则p1＋p2＝________． 解析：由题意知amn＝1＋(n－1)dm，则a2n－a1n＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)·(d2－d1)，同理，a3n－a2n＝(n－1)·(d3－d2)，a4n－a3n＝(n－1)(d4－d3)，…，ann－a(n－1)n＝(n－1)·(dn－dn－1)．又因为a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列，所以a2n－a1n＝a3n－a2n＝…＝ann－a(n－1)n，故d2－d1＝d3－d2＝…＝dn－dn－1，即{dn}是公差为d2－d1的等差数列，所以dm＝d1＋(m－1)(d2－d1)＝(2－m)d1＋(m－1)d2.令p1＝2－m，p2＝m－1，则dm＝p1d1＋p2d2，此时p1＋p2＝1. 答案：1
22*
3．(2016·宿州模拟)已知函数f(x)＝x－2(n＋1)x＋n＋5n－7(n∈N)．
(1)设函数y＝f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.
222
解：(1)证明：因为f(x)＝x－2(n＋1)x＋n＋5n－7＝[x－(n＋1)]＋3n－8， 所以an＝3n－8，
因为an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3， 所以数列{an}为等差数列．
(2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|， 所以当1≤n≤2时，bn＝8－3n，
n（b1＋bn）n[5＋（8－3n）]13n－3n2
Sn＝b1＋…＋bn＝＝＝；
222
当n≥3时，bn＝3n－8， Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝5＋2＋1＋…＋(3n－8)
2
（n－2）[1＋（3n－8）]3n－13n＋28＝7＋＝.
222
13n－3n，1≤n≤2，2
所以Sn＝ 2
3n－13n＋28
，n≥3.
2
4．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10. (1)求证：{lg an}是等差数列；
??3
?的前n项和，求Tn； (2)设Tn是数列?
（lg a）（lg a）nn＋1??
12*
(3)在(2)的条件下，求使Tn>(m－5m)对所有的n∈N恒成立的整数m的取值集合．
4
?????
解：(1)证明：依题意，a2＝9a1＋10＝100，故＝10. 当n≥2时，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10，
两式相减得an＋1－an＝9an，
a2a1
an＋1
＝10， ann－1n*
故{an}为等比数列，且an＝a1q＝10(n∈N)， 所以lg an＝n.
所以lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1， 即{lg an}是等差数列．
即an＋1＝10an，
1?1＋1＋…＋? n（n＋1）??1×22×3?
11??111
＝3?1－＋－＋…＋－
nn＋1??223?(2)由(1)知，Tn＝3?＝3－
3
. n＋1
33，所以当n＝1时，Tn取最小值. n＋12
(3)因为Tn＝3－
312
依题意有>(m－5m)，解得－1 24 故所求整数m的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．
2018届高考数学一轮第5章数列第2讲等差数列及其前n项和
