教 学 设 计
§1 函数与方程
利用函数性质判定方程解的存在
教学内容分析
此节内容为北师大版本必修1的第四章《函数应用》第一课时4.1.1利用函数性质判定方程解的存在。
函数是高中的起始课程，函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数应用的价值。本节内容就是函数应用价值的体现，利用函数和其他数学知识的有机联系，从函数特征判定方程解的存在性。
学情分析
函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与方程有着紧密的联系．函数是特殊的方程，可以看成一个方程，因此，函数问题可转化为方程问题来解决．本节课就是以探究具体的一元二次方程和根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的情境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，以立旧创新的学习思路来学习新知识，新方法，新思想．本节设计特点是由特殊转到一般，由易到难，由旧创新的探究规律．运用“数形结合”思想和“转化”思想．充分发挥函数图像及其性质的应用． 三维目标
1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，
学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．
2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．
3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐． 教学重点难点
1. 重点：零点的理解；利用函数性质判定方程解的存在性。 2. 难点：构造函数，结合函数图像性质判断方程根的个数。
课时安排
1课时 教学过程
一，导入新课 思路1.(问题导入)
问题1：一元一次方程 x －1=0 的解和相应的一次函数y=x－1的图像与x轴交点坐标有何关系？
学生回答：x －1=0 的解和相应的一次函数y=x －1 的图像与x轴交点坐标相同。 提问：方程 x －1=0 的解为x=1
求y=x －1的图像与x轴交点坐标时，另y=0即x －1=0解的x=1
分析：对于函数y=x-1,另y=0即x －1=0 对于方程x-1=0,左边可看作函数y=x-1,右边可看作函数y=0
问题2，一元二次方程 x－3x+2=0 的解和相应的二次函数y= x－3x+2 的图像与x轴交点坐标有何关系？
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学生回答：x－3x+2=0 的解和相应的二次函数y=x－3x+2 的图像与x轴交点坐标相同。
提问：方程 x－3x+2 =0 的解为x=1和x=2
求y=x－3x+2的图像与x轴交点坐标时，另y=0即x－3x+2=0解的x=1和x=2
分析：对于函数y=x－3x+2,另y=0即x－3x+2=0 对于方程x－3x+2=0,左边可看作函数y=x－3x+2右边可看作函数y=0
归纳：以上两个问题都是有关函数与x轴交点的横坐标问题，对于方程这个横坐标可称为方程的解或方程的根，那么对于函数我们又怎样称呼呢?如果称为函数与x轴的交点的横坐标，那么比较繁琐，我们今天给它一个新叫法------零点
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二，新课教学
1，零点概念
函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点
? ? ?
归纳: （1）函数的零点是实数，零点不是点。
（2）如果函数有零点，则零点一定在定义域内。 （3）并不是所有的函数都有零点，比如?。
思考：函数y=f(x)有零点 ， 函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ，方程 f(x)= 0有实数根这三个之间的关系是怎样的？
结论： 函数y=f(x)有零点 ? 函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点
?方程 f(x)= 0有实数根
2，函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解。
师生互动：帮助学生理解此定理
看一遍：一个字、一句话的理解 读一遍：整体的理解
问一边：看有没有看懂的，能否表达出来
分析一遍：条件有三个?[a,b] ?连续不断 ?f(a)·f(b)<0， 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点 结合图形解释一遍：直观，明了
3，练习1：下列说法其中正确的是（ ）
A.对于函数f(x)= 点.
1x
,因为f(-1)f(1)<0,所以f(x)在区间 (-1,1)内必有零
B.对于函数f(x)=x2-x,因为f(-1)f(2)>0,所以f(x)在区间(-1,2)内没有零点.
C.对于函数f(x)=x3-3x2+3x-1,因为f(0)f(2)<0,所以f(x)在(0,2)内必有零点.
总结：（1）f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线和f(a)·f(b)<0，这两个条件缺一不可
（2）f(x)在区间[a,b]上f(a)·f(b)<0或f(a)·f(b)>0，函数y=f(x)在区间(a,b)内也可能有零点
（3）函数零点存在性定理只能判断零点的存在性，不能判断零点的个数。单调函数的零点只有一个。
（4）函数零点存在性定理不可逆。 练习2，
（1）函数y＝x2＋2x－8的零点为______________． （2）若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a＝______.
4， 应用示例 思路1
例1 已知函数f(x)＝3x－x2，问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f(x)＝0无法解，故用定理法，判断f(－1)f(0)＜0是否成立．
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解：因为f(－1)＝3－(－1)＝－3＜0，
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北师大版高中数学必修一：4.1.1 利用函数性质判断方程解的存在 35号教学设计
