得A，E，D，O四点共圆，所以AE最大值就是AD，tan∠FEO＝tan∠DAO，可判断②③ 当DA平分∠EAO，根据△ADE≌△ADO可得AE＝3，DE＝1，由△AEF∽△DFO可求OF的长，即求出CG的长． 【解答】解∵ABCD是正方形
∴AO＝AB＝BC＝CO＝3，BC∥AO，且DO＝1 ∴CD＝2，AD＝∵BC∥AO ∴
，
＝故①错误
∵∠AOD＝90°，∠AED＝90° ∴A，E，D，O四点共圆， ∴AE的最大值是直径AD＝∴tan∠FEO＝tan∠DAO＝
，∠FEO＝∠DAO 故②③正确
∵DA平分∠EAO，DE⊥AE，DO⊥AO ∴DE＝DO＝1，且AD＝AD Rt△ADE≌Rt△DOA ∴AO＝AE＝3
设OF＝a，则CG＝2a，AF＝3+a ∴DF＝
∵∠DFO＝∠DFO，∠DOF＝∠AEF＝90° ∴△DFO∽△AEF ∴∴a＝
∴CG＝2a＝故④正确 故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，圆的性质，平行线分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解决问题．
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∴
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．【分析】根据提公因式法，可得答案． 【解答】解：原式＝b（a﹣b）， 故答案为：b（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
14．【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2， 所以随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率＝＝． 故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15．【分析】直接利用已知得出x+2x＝1，进而代入求出答案． 【解答】解：∵a@b＝a+ab﹣1，x@2＝0， ∴x+2x﹣1＝0， 则x+2x＝1，
故2x+4x﹣3＝2（x+2x）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确得出x+2x＝1是解题关键．
16．【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得△BED，△COE高的关系，且AB＝2BD代入k＝AO×AB中，可求k的值． 【解答】解：设△BDE的高为h1，△CEO的高为h2． ∴S△BDE＝∴BD×h1＝2
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2
2
2
22
2
2
＝1
∵CO∥AB ∴△COE∽△BDE ∴
∴h2＝3h1． ∴AO＝4h1． ∵D是BA中点 ∴AB＝2BD
∴k＝AB×AO＝2BD×4h1＝16 故答案为16
【点评】反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质，关键是运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题． 三、解答题（本大题共7小题，共计68分）
17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、负指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝2﹣6×＝2﹣2＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝＝＝
，
＝1．
?
÷
+1+2
+1+2
＝＝9
当a＝2时，原式＝
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．【分析】（1）先根据第1组的频数及其频率求得总人数，再根据频率＝频数÷总数可分别求得a、b的值；
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（2）根据（1）中所求结果可补全图形；
（3）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单． 【解答】解：（1）∵被调查的总人数为2÷0.04＝50， ∴a＝50×0.16＝8、b＝4÷50＝0.08， 故答案为：8、0.08；
（2）如图所示：
（3）画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰好都是九年级学生有2种结果， ∴所选两位同学恰好都是九年级学生的概率为， 故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．【分析】在Rt△DBC有BC＝
求得BC的长，在Rt△ABC中由AC＝BCtan∠
ABC求得AC的长，根据AD＝AC﹣CD可得答案．
【解答】解：∵在Rt△DBC中，∠DBC＝30°，且CD＝2米，
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∴BC＝＝＝2，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝67°， ∴AC＝BCtan∠ABC＝2则AD＝AC﹣2≈6，
答：像体AD的高度约为6米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 21．【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论； （2））设每星期利润为y元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）根据题意可得： y＝300+30（60﹣x） ＝﹣30x+2100；
（2）设每星期利润为W元，根据题意可得： W＝（x﹣40）（﹣30x+2100） ＝﹣30（x﹣55）+6750． 则x＝55时，W最大值＝6750．
故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 22．【分析】（1）利用直线y＝﹣x+6可求得A、B的坐标，再利用对称可求得C点坐标； （2）连接AF，可证得△BED∽△AEF，利用相似三角形的性质可证得结论；
（3）利用（2）中三角形相似，结合条件可求得∠BAE＝∠FAO，在Rt△AOF中，利用三角函数定义可求得OF的长，则可求得F点的坐标． 【解答】解：
（1）在y＝﹣x+6中，令y＝0可得x＝6，令x＝0可得y＝6， ∴A（6，0），B（0，6）， ∵点C与A关于y轴对称， ∴C（﹣6，0）；
（2）连接AF，由（1）可知OC＝OA，
2
tan67°≈8.16，
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2018年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷
