教案讲义·训练检测
[A 基础达标]
x2y2
1．若双曲线2－＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于( )
a3A．2 3C. 2
c2a2＋3
解析：选D.c＝a＋3，e＝2＝2＝4，
aa
2
2
2
B.3 D．1
所以a2＝1，又因为a＞0，所以a＝1.
x2y25
2．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，且其右焦点F2的坐标为(5，
ab40)，则双曲线C的方程为( )
x2y2
A.－＝1 43x2y2
C.－＝1 916
x2y2
B.－＝1 169x2y2
D.－＝1 34
c5
解析：选B.依题意得e＝＝，又c＝5，故a＝4，所以b＝3，所以双曲线C的方程为
a4x2y2
－＝1，故选B. 169
x2y2x2y2
3．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2
abab的离心率之积为
3
，则C2的渐近线方程为( ) 2
B.2x±y＝0 D．2x±y＝0
a2－b2a2＋b23
·＝，化简得a2＝2b2.因此C2的渐近线方程为aa2
A．x±2y＝0 C．x±2y＝0 解析：选A.依题意得
b1
y＝±x＝±x，即x±2y＝0，故选A.
a24．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) 4A. 3C．2
5B. 3D．3
x2y2
解析：选B.不妨设双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则2×2b＝2a＋2c，即
aba＋cb＝.
2
精品资源·备学备考
教案讲义·训练检测
a＋c?
又b＝c－a，则?＝c2－a2，
2??
2
2
2
2
所以3c2－2ac－5a2＝0， 即3e2－2e－5＝0，注意到e＞1， 5
得e＝.故选B.
3
x2y2
5．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，
910则P2F1－P1F1的值是( )
A．3 C．6
B．4 D．8
解析：选C.设F2为右焦点，连结P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知P1F1＝P2F2，所以P2F1－P1F1＝P2F1－P2F2＝2×3＝6.
x2y2
6．已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐
916近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
4
解析：由题意求出双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，则双曲线渐近线方程为y＝±x，不妨
34
设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x－3y－20＝0①，将①式代入双曲线方程解
332113232
得yB＝－，则S△AFB＝AF·|yB|＝(c－a)·＝.
15221515
32答案： 15
x2y2
7．已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，
ab1
sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．
3
解析：设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程， c2y2y2c2b2
得2－2＝1，所以2＝2－1＝2， abbaab21所以y＝±.因为sin∠MF2F1＝，
a3b2
MF1ab2
所以tan∠MF2F1＝＝＝
F1F22c2ac
精品资源·备学备考
教案讲义·训练检测
c2－a2cae12＝＝－＝－＝，
2ac2a2c22e4所以e2－
2
e－1＝0， 2
所以e＝2(负值舍去)． 答案：2
x2y2
8．如图，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦
ab点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
S1
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________．
S2
解析：(1)由题意可得ab2＋c2＝bc， 所以a4－3a2c2＋c4＝0， 所以e4－3e2＋1＝0，
3＋51＋5
所以e2＝，所以e＝.
22(2)设sin θ＝＝
b
，cos θ b2＋c2
cS12bc
，＝ 2
b2＋c2S24asin θcos θ
b2＋c22bc
＝＝2 bc2a4a2·22
b＋c12＋5＝e2－＝. 22
1＋52＋5答案：(1) (2) 22
x2y2
9．过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于
ab点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．
精品资源·备学备考
教案讲义·训练检测
b
解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，
a又直线l过右焦点F(c，0)， b
则直线l的方程为y＝(x－c)．
a
4a2y2
因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得2－2＝1，
ab
化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，bc
代入直线方程得－3b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋3.
aa
x2y2
10．设双曲线2－2＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，且点(1，
ab4
0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
5
解：直线l过(a，0)、(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公（a－1）b
式，且a>1，得点(1，0)到直线l的距离为d1＝，
a2＋b2
（a＋1）b42ab4
同理得到点(－1，0)到直线l的距离为d2＝，由s≥c得到≥c①.将b2＝225c5a＋bc2－a2代入①式的平方，整理得－25x＋25≤0，
5c5
解得≤x≤5，又e＝＝x，故≤e≤
4a2
5.
4c4－25a2c2＋25a4≤0，两边同除以
a4后令
c2
＝x，得到4x22a
[B 能力提升]
x2y25
1．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
ab21
A．y＝±x
41
C．y＝±x
2
1
B．y＝±x
3D．y＝±x
c55c2a2＋b2b21b1
解析：选C.由题意知＝，即＝2＝2，所以2＝，所以＝±.所以C的渐近
a24aaa4a21
线方程为y＝±x.
2
x22→→
2．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2
2<0，则y0的取值范围是____________．
→
解析：由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1(－3，0)，F2(3，0)，所以MF1
→→→2－3＋y2＝3y2－1<0，所以＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0)，所以MF1·MF2＝x000
精品资源·备学备考
教案讲义·训练检测
－
33 ? 33? ，33? 3．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点M(4，－10)． (1)求双曲线方程； →→ (2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：NF1·NF2＝0； (3)在(2)的条件下，求△F1NF2的面积． 解：(1)因为e＝2，故可设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为过点M(4，－10)，所以16－10＝λ， x2y2 所以λ＝6.所以双曲线方程为－＝1. 66(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a＝b＝6， 所以c＝23.所以不妨设F1(－23，0)，F2(23，0)． →→ 所以NF1＝(－23－3，－m)，NF2＝(23－3，－m)． →→ 所以NF1·NF2＝(－23－3)·(23－3)＋m2＝－3＋m2.因为点N(3，m)在双曲线上， 所以9－m2＝6，所以m2＝3. →→ 所以NF1·NF2＝0. (3)因为△F1NF2的底F1F2＝43， 高h＝|m|＝3， 所以△F1NF2的面积S＝6. 4．(选做题)已知双曲线C1∶ x2－ y2 ＝1. 4 (1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，3)的双曲线C2的标准方程； →→ (2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当OA·OB＝3时，求实数m的值． 解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)， x2y2 设双曲线C2的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)， aba2＋b2＝5，?2???a＝4，则?163解得?2 ?b＝1，－＝1，???a2b2 x22 所以双曲线C2的标准方程为－y＝1. 4 精品资源·备学备考
2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.3 2.3.2 应用案巩固提升(苏教版)
