说明理由。 解：
金山中学高二年级数学学科学习水平检查 2017年3月
（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李 萍 审核人：龚伟杰） 一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）
1．正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线B1C与AD1所成的角的大小为______.90 2．过两两相交的三条直线中的每两条直线作一个平面，这样可作平面的个数 ．1或3 3
．
在
复
数
集
中
分
解
因
式
：
?2x2?x?1? ． 2(x?1?7i1?7i)(x?) 444．直线l1:3x?y?1?0，l2:x?5?0，则直线l1与l2的夹角为 ．5．双曲线x?y?1的顶点到其渐近线的距离等于 ．
22? 62 2x2y21??1的右焦点，则实数a? ? 6．若直线ax?y?1?0经过椭圆
251637．已知复数z?C，|z?2|?1，则|z|的取值范围为 ．[1,3]
8．已知A,B,C,D是空间四点，命题甲：A,B,C,D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的 条件． 充分不必要
9．四边形ABCD为正方形，且PA?平面ABCD，PA?AB?a，则点P到直线BC的距离为 ．2a
10．圆C1:x?y?x?2y?0关于直线l:x?y?1?0对称的圆C2的方程
22??B?A?3?5?为 ．?x?2???y???
2?4?22AB
11．如图，二面角??l??的大小是60°，线段 lü?，B?l，AB与l所成的角为30°.
则AB与平面?所成的角的大小是 . arcsin3 412．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，l?BA且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离
|MP|、|NQ|满足条件
|MP||NQ|??1，则|AM|+|AN|的值为____20 |MA||NA|二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 下面是关于复数z?2的四个命题： ①z?2；②z2?2i； ③z的共轭复数为1?i； ?1?i④z的虚部为?1．其中正确的命题 （ C ）
A．②③
B．①② C．②④ D．③④ ,直线l、平面?14．设点M( D )
，则下列命题中正确的是
A．若M?l，l在?外，则M?? B．若M?l，M??，则M?l?? C．若M?l，M??，则lü? D．若M?l，lü?，则M??
15．点M、N是正方体ABCD?A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中
心
，
则
MN与平面
P1CB的
位置关系是
（ A ）
A．平行 B．相交 C．MN?平面PCD D．以上都可以
?16．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，A1A?AB?2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥
PC，则棱
AD的长的取值范围是
（ D ）
A．[1,2]
B．(0,2]
C．(0,2)
D．(0,1]
三.解答题（12分＋14分＋16分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分12分）
已知复数z满足2z?|z|?3?6i，
（1）求复数z；（2）复数z是实系数一元二次方程x?bx?c?0的一个根，求b?c的值 解：设z?a?bi(a,b?R)，2(a?bi)?a2?b2?3?6i
2??2a?a2?b2?3?a?0?a?4??或?(舍)?b?3b?3?2b?6???z?3i
?3i?3i??b?b?0 ???3i?(?3i)?cc?9??b?c??9
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7A1分。
B1C1MD1如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?2，BC?2，CC1?4，
M为棱CC1上一点.
（1）若C1M?1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
BADC（2）若C1M?2，求证BM?平面A1B1M. 解:（1）
A1B1//C1D1，所以?B1A1M（或其补角）是异面直线A1M和C1D1所成角
长方体ABCD?A1B1C1D1中 ?A1B1?面B1BCC1，
?A1B1?B1M，C1M?1,B1C1?BC?2，B1C1?C1M，得B1M?5 tan?B1A1M?B1M5? B1A12（2）由题意，BC?B1C1?2，C1M?2，CC1?4?CM?2
BB12?BM2?B1M2，??BMB1?90，即BM?B1M
又由A1B1?面B1BCC1可得A1B1?BM 故BM?平面A1B1M.
19．（本题满分16分, 第1小题满分8分，第2小题满分8分）
如图,设P是圆x?y?25上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点,且
22MD?44PD.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为55错误！未找到引用源。的直线被C所截线段的长度.
解：(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp),
?xp?x52?2由已知得?错误！未找到引用源。， ∵P在圆上, x?(y)?25， 即C的方程为54yp?y??4x2y2??1. 2516(2)过点(3,0)且斜率为
44的直线方程为y?(x?3), 55设直线与曲线C的交点为A(x1,y1), B(x2,y2)
x2(x?3)24??1， 将直线方程y?(x?3)代入C的方程,得252552即x?3x?8?0，得x1?3?413?41，x2? 2216)(x1?x2)2?254141?41? 255∴AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
x2如图，已知椭圆C:?y2?1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点
4A、B，直线AP、BP与直线l:y??2分别交于点M、N，
（1）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1?k2为定值；（2）求线段MN的长的最小值；（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论． 解：（1）?A(0,1)，B(0,?1)，令P(x0,y0)，则由题设可知x0?0， 直线AP的斜率k1?y0?1y?1，PB的斜率k2?0，又x0x0p
2x02点P在椭圆上，所以，从而有?y0?1（x0?0）
42y0?1y0?1y0?11k1k2???2??.
x0x0x04（2）由题意设直线AP的方程为y?1?k1(x?0)，
3??y?1?k1x?x??k1， 直线BP的方程为y?(?1)?k2(x?0)，由????y??2?y??2?1??y?1?k2x?x??k2， 由????y??2?y??2??直线AP与直线l的交点M(?31,?2)，直线BP与直线l的交点N(?,?2), k1k2又k1k2??313331，?|MN|????4k1??4|k1|?2?4|k1|?43，
k1k2k1|k1||k1|4等号当且仅当
33，故线段MN长的最小值是43。 ?4|k1|时取到， 即k1??2|k1|(3）设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则QM?QN?0, 故(x?311)(x?)?(y?2)(y?2)?0， 又k1?k2??， k1k2422以MN为直径的圆方程为x?(y?2)?12?(3?4k1)x?0， k1x?0x?0??x?0???， 得? 或? ?22???x?(y?2)?12?0?y??2?23?y??2?23所以以MN为直径的圆恒过定点(0,?2?23)或(0,?2?23)。
21．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知空间四边形ABCD，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，
(1) 若AC?BD，异面直线AC与BD所成的角的大小为30?，求EG和AC所成的角的大小；
(2)当四边形EFGH是平面四边形时，试判断EH、FG与BD三条直线的位置关系，并选择其中一种位置关系说明理由；
(3)已知当AC?a,BD?b，异面直线AC、BD所成角为?，当四边形EFGH是平行四边形
A
E H
上海市金山中学2016-2017学年高二下学期3月段考数学试题 含答案 精品
