全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两坐1．计算??D1?x?y标轴所围成三角形区域.
2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2??0f(x)dx?2，则f(x)?____________.
x23．曲面z??y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________.
224．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，
d2y
则2?________________. dx
eex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??0f(xt)dt，且lim?A，A为常数，
x?0x求g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性. 四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：
（1）?xesinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；
LL5（2）?xesinydy?ye?sinydx??2.
2L五、（10分）已知y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是某二阶常
系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线y?ax2?bx?2lnc过原点.当0?x?1时，y?0，又已
1知该抛物线与x轴及直线x?1所围图形的面积为.试确定a,b,c，使此图形绕x3轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
e?(x)?un(x)?xn?1exn?1,2,L，且un(1)?，求函数七、（15分）已知un(x)满足unn项级数?un(x)之和.
n?1?八、（10分）求x?1时，与?xn等价的无穷大量.
??2n?02010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25分，每小题5分）
（1）设xn?(1?a)(1?a)L(1?a)，其中|a|?1,求limxn.
n??22n?1?（2）求lime?x?1??.
x???x?（3）设s?0，求In??e?sxxndx(n?1,2,L).
0?x2?2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求2?2.
?x?y?r?22?x?y?0x?2y?1z?3（5）求直线l1:?与直线l2:的距离. ??4?2?1?z?0二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且f??(x)?0，
x???limf?(x)???0，
limf?(x)???0，且存在一点x0，使得f(x0)?0.证明：方程f(x)?0在(??,??)恰
x???有两个实根.
?x?2t?t2d2y3(t??1)所确定，三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?且2?，
dx4(1?t)y??(t)?其中?(t)具有二阶导数，曲线y??(t)与y??e?udu?1t223在t?1出相切，求函数2e?(t).
四、（15分）设an?0,Sn??ak，证明：
k?1n（1）当??1时，级数?an收敛； ?n?1Snan发散. ?n?1Sn????（2）当??1且sn??(n??)时，级数?五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中?2??2??2?1)的直线，均匀椭球
x2y2z2?2?2?1（其中0?c?b?a，密度为1）绕l旋转. 2abc（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值.
六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分??2xydx??(x)dy?0的值为常数. 42Lx?y2xydx??(x)dy?0；
Lx4?y2（1）设L为正向闭曲线(x?2)2?y2?1，证明??（2）求函数?(x)；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求??2xydx??(x)dy. 42Cx?y2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）求lim??sinx??x?0?x?11?cosx；
（2）.求lim??111???...??； n??n?1n?2n?n??2t?d2y?x?ln?1?e?（3）已知?，求2.
tdx??y?t?arctane二、（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解.
三、（本题15分）设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且
f?0?,f??0?,f???0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
limk1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0??0.
h?0h2x2y2z2四、（本题17分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，?2:z2?x2?y2，?为?1abc与?2的交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
?x2?3y2?1五、（本题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半
z?0?部分（z?0）（取上侧），?是S在P(x,y,z)点处的切平面，?(x,y,z)是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦.计算： （1）??SzdS；（2）??z??x?3?y??z?dS
??x,y,z?S六、（本题12分）设f(x)是在(??,??)内的可微函数，且f?(x)?mf(x)，其中0?m?1，任取实数a0，定义an?lnf(an?1),n?1,2,...，证明：?(an?an?1)绝对收敛.
n?1?七、（本题15分）是否存在区间?0,2?上的连续可微函数f(x)，满足f(0)?f(2)?1，
f?(x)?1，
?20f(x)dx?1?请说明理由.
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.
（1）求极限lim(n!).
n??1n2（2）求通过直线l:??2x?y?3z?2?0的两个互相垂直的平面?1和?2，使其中一个
5x?5y?4z?3?0?平面过点(4,?3,1).
（3）已知函数z?u(x,y)eax?by?2u?0.确定常数a和b，使函数z?z(x,y)满，且
?x?y?2z?z?z???z?0. 足方程
?x?y?x?y（4）设函数u?u(x)连续可微，u(2)?1，且?(x?2y)udx?(x?u3)udy在右半平面与
L路径无关，求u(x,y). （5）求极限lim3x?xx???x?1sintdt. t?cost??二、（本题10分）计算?0e?2xsinxdx.
三、（本题10分）求方程x2sin?2x?501的近似解，精确到0.001.
四、（本题12分）设函数y?f(x)二阶可导，且f??(x)?0，f(0)?0，f?(0)?0，求
x3f(u)lim，其中u是曲线y?f(x)上点P(x,f(x))处的切线在x轴上的截距. x?0f(x)sin3u1x五、（本题12分）求最小实数C，使得满足?0f(x)dx?1的连续函数f(x)都有
1?10f(x)dx?C.
六、（本题12分）设f(x)为连续函数，t?0.区域?是由抛物面z?x2?y2和球面
x2?y2?z2?t2(z?0)所围起来的部分.定义三重积分F(t)????f(x2?y2?z2)dv，
?求F(t)的导数F??(t).
七、（本题14分）设?an与?bn为正项级数，证明：
n?1n?1?an1?（1）若lim???0，则级数?an收敛； n??abbn?1n?1nn?1??an1?（2）若lim???0，且级数?bn发散，则级数?an发散. n??abbn?1n?1n?1nn?1??2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）
1?sin?1?4n2. 1.求极限limn????n
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
