2021年中考数学真题试卷
一．选择题（共6小题，每小题4分，满分24分） 1．下列运算正确的是（ ） A．
C．a3÷a2＝a3?a﹣2
2．已知a＜b，下列结论中成立的是（ ） A．﹣a+1＜﹣b+1 C．﹣
b+2
B．﹣3a＜﹣3b D．如果c＜0，那么
B．（a3）4＝a7 D．
3．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ） A．5.6×10﹣1
B．5.6×10﹣2
C．5.6×10﹣3
D．0.56×10﹣1
4．数轴上的点A到原点的距离是4，则点A表示的数为（ ） A．4
B．﹣4
C．4或﹣4
D．2或﹣2
5．下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
二．填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．﹣的立方根为 ．
8．方程组的解为 ．
9．A（3，y1），B（1，y2）是直线y＝kx+3（k＞0）上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜）．
10．小何买了4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小何共花费 元．（用含a，b的代数式表示）
11．某计算程序编辑如图所示，当输入x＝ 时，输出的y＝3．
12．从圆、平行四边形、菱形、正五边形随机抽取一个图形，抽到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．
13．一组数据：3，1，3，5，3，2的众数是 ．
14．已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为 ． 15．如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设表示
，那么
＝ ．
＝，
＝，如果用，
16．直角梯形的一个底角为60°，上、下底的长分别是2和3，那么这个梯形的周长为 ． 17．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6，△DEB的周长为 ．
18．如图，将矩形纸片ABCD放入以BC所在直线为x轴，BC边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连结OD，将纸片ABCD沿OD折叠，使得点C落在AB边上点C′处，若AB＝5，BC＝3，则点C的坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：20．（10分）解方程：
+20﹣|﹣3|+（﹣）﹣1．
+
﹣2＝0
21．（10分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． （1）A市和B市之间的路程是 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义； （3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？
22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠B＝30°，AD为BC边上的中线，E
为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长交AB于点F，过点F作FG∥AC交AD（或延长线）于点G． （1）当n＝1时，则
＝ ，
＝ ．
（2）如图2，当n＝时，求证：FG2＝FE?FC； （
3
）
如
图
3
，
当
n
＝
时
，
．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形； （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形； （3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C． （1）试求二次函数及一次函数的解析式；
（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；
（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+
CF的值最大时，求点E的坐标．
25．（14分）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ，使得△ABC为等边三角形； ①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．
参考答案
一．选择题
1．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的意义对A进行判断；根据幂的乘方对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据立方根与算术平方根的定义对D进行判断．
【解答】解：A、（﹣
）0﹣（）﹣2＝1﹣9＝﹣8，所以A选项错误；
B、（a3）4＝a12，所以B选项错误； C、a3÷a2＝a3?a﹣2，所以C选项正确； D、
+
＝3
﹣2
，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
2．【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解答】解：A、a＜b则﹣a+1＞﹣b+1，故原题说法错误； B、a＜b则﹣3a＞﹣3b，故原题说法错误； C、a＜b则﹣a+2＞﹣b+2，故原题说法正确； D、如果c＜0，那＞，故原题说法错误； 故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2， 故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．【分析】在数轴上点A到原点的距离为4的数有两个，意义相反，互为相反数．即4和﹣4．
【解答】解：在数轴上，4和﹣4到原点的距离为4． ∴点A所表示的数是4和﹣4． 故选：C．
【点评】此题考查的知识点是数轴．关键是要明确原点的距离为4的数有两个，意义相反．
5．【分析】从组成图形的面来考虑即可求解．
【解答】解：正方体，圆柱和四棱柱都是柱体，只有C选项是锥体． 故选：C．
【点评】本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 6．【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； C、当D、当
＝＝
时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； 时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 二．填空题
7．【分析】根据立方根的定义即可求出﹣【解答】解：﹣故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．
的立方根为﹣．
的立方根．
8．【分析】把两个方程的左边利用提公因式法进行因式分解，两式相除得到x＝3y，代入方程求出y、x． 【解答】解：
由①得，x（x+y）＝12③， 由②得，y（x+y）＝4④， ∵y≠0，x+y≠0， ∴③÷④得，x＝3y⑤， 把⑤代入②得，3y2+y2＝4， 解得，y1＝1，y2＝﹣1， 把y＝±1代入⑤得，x＝±3， 则方程组的解为
，
， ，
故答案为：，．
【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，利用因式分解把方程的左边进行正确的变形是解题的关键．
9．【分析】由k＞0，利用一次函数的性质可得出y值随x值的增大而增大．再结合3＞1即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＞0， ∴y值随x值的增大而增大． 又∵3＞1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10．【分析】根据单价×数量＝总费用进行解答． 【解答】解：依题意得：4a+10b； 故答案是：（4a+10b）．
【点评】本题考查列代数式．解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系．
11．【分析】由y＝3可知或3x+5＝3，然后求得x的值即可．
，解得x＝12；
【解答】解：当x≥3时，y＝3即
当x＜3时，y＝3即3x+5＝3，解得：x＝﹣． 故答案为：12或﹣．
【点评】本题主要考查的是函数值，分类讨论是解题的关键．
12．【分析】从这4个图形中找到既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：在圆、平行四边形、菱形、正五边形这4个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是圆、菱形这2个图形，
所以抽到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是＝， 故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及轴对称图形和中心对称图形的概念． 13．【分析】根据众数的概念求解可得．
【解答】解：数据3出现次数最多，所以众数为3， 故答案为：3．
【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
14．【分析】先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据弧长公式求出弧长即可． 【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°， ∴解得：R＝2∴弧长为故答案为：
＝12π， ，
＝πcm．
π（cm），
【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键． 15．【分析】首先证明AG＝2DG，推出AG＝AD，求出【解答】解：连接DE．
即可解决问题．
∵AE＝EC，BD＝DC， ∴DE∥AB，DE＝AB， ∴
＝
＝，
∴AG＝2DG， ∴AG＝AD， ∵∴
＝＝
+
，
＝
，
＝，
+， ++， ．
∴AG＝故答案为
【点评】本题考查三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．【分析】根据题意画四边形ABCD为直角梯形，过点D作DE⊥BC于点E，则得矩形ABED，再根据矩形性质和勾股定理即可求出DC和AB，进而求得这个梯形的周长． 【解答】解：如图，四边形ABCD是直角梯形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，∠C＝60°，AD＝2，BC＝3， 过点D作DE⊥BC于点E， 则得矩形ABED， ∴BE＝AD＝2，
∴EC＝BC﹣BE＝3﹣2＝1， ∴CD＝2CE＝2，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得 DE＝∴AB＝DE＝
＝，
，
∴这个梯形的周长为： AB+BC+CD+AD＝故答案为：7+
+3+2+2＝7+．
．
【点评】本题考查了直角梯形，解决本题的关键是将梯形问题转化为直角三角形和矩形或转化为平行四边形和等边三角形．
17．【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE＝DC，在△BED中，BE＝AB﹣AE，DE＝DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB＝BE+CD+DB＝BE+CB． 【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝6 根据勾股定理得2CB2＝AB2，∴CB＝3∵AD平分∠CAB ∴∠CAD＝∠EAD ∵DE⊥AB
∴∠DEA＝90°＝∠C ∴△CAD≌△EAD（AAS） ∴AC＝AE＝3
，DE＝CD
+3
＝6．
，
∴EB＝AB﹣AE＝6﹣3
故△DEB的周长为：BE+DE+DB＝BE+CD+DB＝BE+CB＝6﹣3
【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．
18．【分析】依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出AC'的长，进而得到BC'＝1，再根据勾股定理可得，Rt△BOC'中，BO2+BC'2＝C'O2，列方程求解即可得到BO＝，进而得出点C的坐标．
【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3， ∴AD＝3，CD＝C'D＝5， ∴Rt△ADC'中，AC'＝
＝4，
∴BC'＝5﹣4＝1，
设BO＝x，则CO＝C'O＝3﹣x， ∵Rt△BOC'中，BO2+BC'2＝C'O2， ∴x2+12＝（3﹣x）2， 解得x＝， ∴CO＝3﹣
，
又∵点C在x轴上， ∴点C的坐标为（，0）， 故答案为：（，0）．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理的运用；解决问题的关键是运用勾股定理计算有关线段的长．解题时注意方程思想的运用． 三．解答题
19．【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣3﹣2 ＝0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20．【分析】此题用换元法解答．注意用两个分式的倒数关系设y． 【解答】解：设
＝y，
．
原方程可化为y+﹣2＝0； 去分母得y2﹣2y+1＝0； 解得y1＝y2＝1． 则
＝1，去分母得x2﹣3x+2＝0；解得x1＝2；x2＝1．
+
﹣2＝1+1﹣2＝0，所以x＝1是原方程的根；
检验：当x＝1时，当x＝2时，
+
﹣2＝1+1﹣2＝0，所以x＝2是原方程的根．
∴原方程的解为：x1＝2，x2＝1．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根．
21．【分析】（1）由图象中的数据，可以直接写出A市和B市之间的路程；
（2）根据题意，可知快车速度是慢车速度的2倍，然后设出慢车的速度，即可得到相应的方程，从而可以求得慢车和快车的速度，进而计算出a的值，然后即可得到点M的坐标，并写出图中点M的横坐标、纵坐标的表示的实际意义；
（3）根据题意可知，分两种情况进行讨论，一种是快车到达B地前相距20km，一种是快车从B地向A地行驶的过程中相距20km，然后分别进行计算即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可知， A市和B市之间的路程是360km， 故答案为：360；
（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍， 设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h， 2（x+2x）＝360， 解得，x＝60 2×60＝120， 则a＝120，
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120 km处相遇； （3）快车速度为120 km/h，到达B市的时间为360÷120＝3（h）， 方法一：
当0≤x≤3时，y1＝﹣120x+360， 当3＜x≤6时，y1＝120x﹣360， y2＝60x， 当0≤x≤3时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（﹣120x+360）＝20， 解得，x＝
，
﹣2＝，
当3＜x≤6时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（120x﹣360）＝20， 解得，x＝
，
﹣2＝
，
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或方法二：
h两车相距20 km．
设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h两车相距20 km， 当0≤t≤3时，60t+120t＝20， 解得，t＝；
当3＜t≤6时，60（t+2）﹣20＝120（t+2）﹣360， 解得，t＝
．
h两车相距20 km．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．【分析】（1）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，由n＝1时，可得E为AD的中点，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案；
（2）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，设AF＝x，则BH＝HF＝nx．由∠B＝30°，即可求得AC的值，然后过点C作CM⊥AB于点M，易求得MC与MF的值，由勾股定理即可求得FC2＝MF2+MC2，然后由平行线分线段成比例定理，即可证得FG2＝FE?FC；
（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，设BH＝x，则HF＝x，FA＝4x，根据平行线分线段成比例定理，即可求得n的值．
【解答】解：（1）当n＝1时，E为AD的中点， 过点D作DH∥CF交AB于点H，
则BH＝HF＝FA，CF＝2DH＝2×2EF＝4EF， ∴
＝2，
＝3．
（2）过点D作DH∥CF交AB于点H， 设AF＝x，则BH＝HF＝nx． ∵∠B＝30°，
∴AC＝AB＝（2n+1）x， 过点C作CM⊥AB于点M， ∵∠ACM＝∠B＝30°，
∴MC＝ACcos∠ACM＝ACcos30°＝（2n+1）x?（2n+1）x＝
x，
x＝x）2+（，
HD＝
FC2，
，即
FC，
， ，
x2＝x2，FE?FC＝
x，
x）2＝
＝x，AM＝AC＝×
∴MF＝AF﹣AM＝x﹣∴FC2＝MF2+MC2＝（∵∴FE＝∴FE?FC＝∴
x2，
∴当n＝时，FC2＝∴x2＝FE?FC． ∵FG∥AC， ∴∴FG＝
AC＝
，
FC2＝x2，
x＝x，
∴FC2＝x2＝FE?FC．
（3）过点D作DH∥CF交AB于点H， 设BH＝x，则HF＝x，FA＝4x， ∴∴n＝．
，
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，三角函数的性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用． 23．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm， ∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm， 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC， 当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形； （2）∵AP＝CQ，AP∥CQ， ∴四边形AQCP为平行四边形， ∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形 即
＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm， 则周长为4×10cm＝40cm； 面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题． 24．【分析】（1）首先确定点C的坐标，代入一次函数求出k，可得点B的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，构建方程求出a即可解决问题． （2）分两种情形：①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，分别求解即可解决问题．
（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C， ∴C（0，﹣5），
∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C， ∴k＝﹣5，
∴B（5，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a， ∴﹣5a＝﹣5， ∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．
（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．
∵S△CPD＝3S△CQD， ∴PD＝3DQ， ∵PT∥DH∥BC， ∴
＝
＝
＝3，
∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0）， ∴OA＝OB＝5，OD＝OH＝2， ∴HC＝3， ∴TH＝9，OT＝7，
∴直线PT的解析式为y＝x+7，
由，解得或，
∴P（，）或（，），
②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，
当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3， ∴PQ＝3DQ， ∴S△CPD＝3S△CQD，
过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件， ∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11， 由
，解得
或
，
∴P′（3，﹣8），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（或（2，﹣9）或（3，﹣8）．
（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5）， ∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝∴EF+
CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
m， ，
）或（
，
）
∵﹣1＜0， ∴m＝3时，EF+
CF的值最大，此时E（3，﹣8）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定解答；
①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； ②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可． 【解答】解：（1）当∠BAM＝30°时， ∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AB＝2BM； 故答案为：30；
（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形； 故答案为：AB＝AC； ①如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC， 即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM与△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴BM＝CN； ②成立， 理由：如图2中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC， 即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM与△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴BM＝CN．
【点评】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型．
2021年中考数学真题试卷(19)（解析版） - 图文
