（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°， ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；
（2）由题意得：CE=AB=30m，
在Rt△CBE中，BE=CE?tan20°≈10.80m， 在Rt△CDE中，DE=CD?tan18°≈9.60m， ∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m， 则教学楼的高约为20.4m．
21．（10分）（2017?绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．
（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
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1625=﹣（x﹣25）2+， 222
∴当x=25时，占地面积最大，
【解答】解：（1）∵y=x?
50???
即饲养室长x为25m时，占地面积y最大； =﹣（x﹣26）2+338，
22
∴当x=26时，占地面积最大， （2）∵y=x?
即饲养室长x为26m时，占地面积y最大； ∵26﹣25=1≠2， ∴小敏的说法不正确．
22．（12分）（2017?绍兴）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°， ①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长． ②若AC⊥BD，求证：AD=CD，
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
50?(???2)
1
【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD， ∴S四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC，
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∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形， ∴BD=AC= 12+12= 2．
（2）如图1中，连接AC、BD． ∵AB=BC，AC⊥BD， ∴∠ABD=∠CBD， ∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD， ∴AD=CD．
（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，
∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件． 若EF与BC不垂直，
①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴AE=AB=5．
②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴BF=AB=5， ∵DE∥BF，
∴DE：BF=PD：PB=1：2， ∴DE=2.5， ∴AE=9﹣2.5=6.5，
综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．
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23．（12分）（2017?绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α= 20 °，β= 10 °，②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，∠ADE=70°， ∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°， ∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°， ∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°， 故答案为：20，10；
②设∠ABC=x，∠AED=y，
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∴∠ACB=x，∠AED=y， 在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β， ∴α=2β；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上， 如图1
设∠ABC=x，∠ADE=y， ∴∠ACB=x，∠AED=y， 在△ABD中，x+α=β﹣y， 在△DEC中，x+y+β=180°， ∴α=2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上， 如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．
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2017年浙江省绍兴市中考数学试卷
