关于Green公式教学中的几点探讨
王 莉，王玉春
【摘 要】摘要：本文对Green公式教学过程中的重点、难点问题，从公式提出、概念引入、定理证明、例题的选取和讲授等几个方面进行探讨，给出了相应的教学思路和教学设计。 【期刊名称】教育教学论坛 【年(卷),期】2017(000)005 【总页数】2
【关键词】Green公式；外微分；围线；变换 【文献来源】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_education-teaching-
forum_thesis/0201220887517.html
【学法指导】
Green公式在现代分析学中起着承上启下的作用，且在实际中有着广泛的应用。在教学时，对于Green公式的理解及应用是教学的重、难点，在以往的教学反馈中，普遍反映理论性较强，结论较抽象，证明复杂，定理条件不易理解等问题。在近两年的省数学授课竞赛中，许多青年教师将Green公式选作授课内容，教学中大多遵循“公式引入—定理证明—应用举例”这一脉络，但在重、难点的处理上都显不足，在知识点的联系、学生的能力培养等方面缺乏思考。如何处理教学重、难点，将抽象知识具体化，掌握公式的内涵，培养学生灵活应用知识的能力是教学设计的主要着力点和关注点。对此，根据多年的教学实践，从以下几个方面进行探讨。
一、突出数学本质，引入自然
Green公式在现代分析学中起着承上启下的作用，它与Newton-Leibniz公式、Stokes公式、Gauss公式是一脉相承的。Newton-Leibniz公式刻画了一元函数在区间端点处的函数值与它的导函数在闭区间上的定积分之间的联系；Green公式刻画了二元函数沿区域边界的曲线积分与它的偏导数在区域上的二重积分之间的联系；Gauss公式刻画了三元函数沿空间闭曲面上的曲面积分与它的偏导数在所围空间区域上三重积分的关系；Stokes公式则刻画了三元函数沿光滑曲面的边界曲线的曲线积分与它的偏导数在光滑曲面上的曲面积分之间的联系。四个公式描述一个共同的数学本质，即边界积分和区域积分的联系。若引入外积、外微分概念[3，4]，四个公式可统一为如下的形式： ∫?Dw=∫Ddw
其中D为dw的积分域，?D为D的边界。
由四个公式的关系，可见Green公式是Newton-Leibniz公式在二维空间上的拓广。在讲授Green公式时，自然可从一元微积分学中的Newton-Leibniz公式进行启发：若将公式中的积分域由闭区间换为二维有界闭区域，那么二元函数沿区域边界的曲线积分与它的偏导数在区域上的二重积分有什么联系呢？这样的引入既显自然，又突出了它的数学本质。
二、旁引“围线”概念，化抽象为具体
在以往的教学反馈中，对于单连域情形掌握较好，而对于复连域情形，很多学生对内外边界曲线的正方向的选取分辨不清。在《数学分析》[1]教材中，边界曲线的正方向规定如下：当人沿边界行走时，区域D总在他的左边。若与上述方向相反，则称负方向。此规定与复变函数中简单曲线的正方向规定是一致的，在国内大多数《复变函数》[2]教材中，对于复连域的边界曲线做了“硬性”规
定，外部边界的逆时针方向为正方向，内部各边界的顺时针方向为负方向。据此规定，学生清楚明白，在教学中，将“围线”的概念引入，很好的解决上述问题。
对于复连域的情形，首先将区域的边界定义为“围线或周线”。设区域D的边界L是由一条或几条逐段光滑的连续曲线所组成，且没有重点，这种曲线称为简单闭曲线，简称“围线”。其次，“硬性”规定曲线正方向。对于内部含有“空洞”的复连域D，其边界L由外部围线L0以及完全包含在L0内部的围线L1，L2，…Ln所组成，我们称区域D的边界L是一条复围线，按规定，外部围线的逆时针方向为正方向，各内部围线的顺时针方向为负方向，从而复连域D的正向边界曲线包括取正方向的L0，以及取负方向的L1，L2，…Ln。
三、难点分解、重视分析
Green公式的证明是本节内容的一个难点，过程冗长，条件不易理解，需要将难点分解，重视分析。从整体看，根据区域D的不同形状，由简到繁分“既是X型又是Y型区域、单连通区域、复连通区域三种情形来证明，重点分析第一种情形，后两种情形通过作辅助线自然推广（借助多媒体演示）。下面介绍第一种情形讲授要点。
首先，分别将含有P和Q的项从Green公式中分离出来，得到如下两个式子： 分析： 若能证明右边两个式子同时成立，将两个式子相加，则可得证格林公式。要证明第一个式子，计算二重积分时，要把被积函数先对y积分，故要求区域D是X型区域，第二个式子要先对x积分，故要求D是Y型区域。通过这样的分析，清楚阐明证明思路和区域分类的依据，以便于学生更好理解。
其次，对于条件“一阶偏导数连续”不可忽略，重点解释，以便表明应用公式
关于Green公式教学中的几点探讨
