第4讲 三角函数的图象与性质
[基础题组练]
1．函数y＝|cos x|的一个增区间是( ) ππ
A．[－，]
223π
C．[π，]
2
B．[0，π] 3π
D．[，2π]
2
解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
?π?2．设函数f(x)＝cos?x＋?，则下列结论错误的是( )
3??
A．f(x)的一个周期为－2π
8π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
3π
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
6
?π?D．f(x)在?，π?上是减少的 ?2?
π?π?解析：选D.函数f(x)＝cos?x＋?的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，3?3?
?π?如图可知，f(x)在?，π?上先减后增，D选项错误．
?2?
?π?3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f(x＋π)＝f(x)与f?＋x?＝
?4???f?－x?的函数f(x)的解析式可以是( )
4?
?
A．f(x)＝cos 2x C．f(x)＝sin x
B．f(x)＝tan x D．f(x)＝sin 2x
π
π
解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x＝对称．
4
?π?A．f(x)＝cos 2x的周期为π，而f??＝0不是函数的最值． ?4?
π
所以其图象不关于x＝对称．
4
π
B．f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于x＝对称．
4C．f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．
?π?D．f(x)＝sin 2x的周期为π，且f??＝1为函数最大值， ?4?
所以D满足条件，故选D.
π??4．(2020·河南六市联考)已知函数f(x)＝2sin?ωx＋?(ω>0)的图象与函数g(x)＝6??π??cos(2x＋φ)?|φ|
2??
A.C.π
6π 3
πB．－
6πD．－
3
π??解析：选D.因为函数f(x)＝2sin?ωx＋?(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋6??
φ)?|φ|
2
??
π??
ππ
所以ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
62π
即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
3ππ
因为|φ|<，所以φ＝－，选D.
23
5．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周ππ
期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为( )
63
A.C.π 1213π
6
πB．
37πD．
6
2π?π?π??ππ
解析：选C.T＝＝2?－?－??＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
ω62?6?3??π13π
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能为.故答案为C.
66
π??6．函数f(x)＝sin?－2x＋?的减区间为________． 3??
π??解析：由已知可得函数为f(x)＝－sin?2x－?，欲求函数f(x)的减区间，只需求y＝
3??π??sin?2x－?的增区间．
3??
πππ
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
232π5π
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
1212故所求函数f(x)的减区间为
?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z)．
??1212??
π5π??答案：?kπ－，kπ＋?(k∈Z)
1212??
π
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为
6常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
π
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ
6ππ
－＝kπ＋，k∈Z， 62
252π6π所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
3355
36π答案： 5
π???π?8．已知函数f(x)＝2sin?ωx＋?的图象的一个对称中心为?，0?，其中ω为常数，3???3?且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．
π???π?所以πω＋π
解析：因为函数f(x)＝2sin?ωx＋?的图象的一个对称中心为?，0?，
3?33??3?＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值
Tππ
为函数的半个周期，即＝＝. 2ω2
π答案： 2
9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)＋2cosx－2. (1)求f(x)的增区间；
2
2
?π3π?(2)当x∈?，?时，求函数f(x)的最大值和最小值．
4??4
π??解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?.
4??πππ
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
2423ππ
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88
3ππ??故f(x)的增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
88??
?π3π?(2)因为x∈?，?，
4??4
3ππ7π
所以≤2x＋≤，
444π?2?所以－1≤sin?2x＋?≤ ，
4?2?
?π3π?函数f(x)的最大值为1，
所以－2≤f(x)≤1，所以当x∈?，?时，最小值为－2.
4??4
π
10．已知函数f(x)＝4sin(x－)cos x＋3.
3(1)求函数f(x)的最小正周期和增区间；
π
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，
2并计算tan(x1＋x2)的值．
π13
解：(1)f(x)＝4sin(x－)cos x＋3＝4(sin x－cos x)cos x＋3＝2sin xcos x322π2
－23cosx＋3＝sin 2x－3cos 2x＝2sin(2x－)．
3
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
ππππ5π
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
2321212π5π
所以函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
1212
π
(2)函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，即函数y＝f(x)与y＝m2ππ在[0，]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y＝f(x)＝2sin(2x－)
23π
在[0，]上的图象，如图所示，
2
由图象可知，当且仅当m∈[3，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋
x2＝2×
5π5π＝， 126
5ππ3故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan ＝－.
663
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；
?π?②f(x)在区间?，π?递增；
?2?
③f(x)在[－π，π]有4个零点； ④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( ) A．①②④ C．①④
B．②④ D．①③
解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)π?π?为偶函数，故①正确；当 2?2?是减少的，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到， 所以f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C. 优解：因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶π?π?函数，故①正确，排除B；当 π??2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)，已知f(x)在[0，2π] 5??
2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质练习理北师大版
