无限总体 nN任意 N?nμ ?2n 若有限总体不重复抽样
?2<5%时，其修正系数N?1近似为1，样本均值的方差可
以简化为n。
2. 样本比例的抽样分布： 总体比例 抽样方法 无限总体 任意 有限总体 有限总体 有放回抽样 无放回抽样 EP p p DP p(1?p)np(1?p)n p p(1?p)n?n ?NN?1nN?n若有限总体无放回抽样N<5%时，其修正系数N?1近似为1，样本比例的方差可以简化为
p(1?p)n。
记法 χ2～χ2(n) 上α分位点 2P[?2???(n)]?? 六、 三种小样本的抽样分布： 名称 统计量 χ2分布 χ1，χ2??χn分布 22?12??2?????n??2 t分布 F分布 X～N（0，1），Y～χ2（n） t～t(n) X，Y相互独立 P[t?t?(n)]?? P[F?F?(n1，n2)]??1 F??(n1，n2)?F?(n2,n1)U～?2(n1)，V~?2(n2) U/n1U，V相互独立，F?V/n2 F～F(n1，n2) 七、 几种重要统计量的分布： 1n设X～N（μ，σ2），X1，X2，??Xn是X的样本，样本均值X?样本方差S2?1. t分布：
2?X1ni，
1n?1?(x1ni?x)2：
标准化s代替????X～N(?，??X???～N(0，1)?以样本标差??????XS～t(n?1)； n)??nn2. χ
?1(XI?X)2?(n?1)S2～?2(n?1)2
分布：； ?2?2n23. 设X1，X2，??Xn是N（?1，?12）的样本，Y1，Y2，??Yn是N（?2，?2）的样本，并且都相互独立，则：
X?Y～N(?1??2，n1?以S代替?2?12?2X?Y?(?1??2)标准化)????～N(0，1) n2?2?21n1?n22?Y?(?1??2)合?????XS～t(n1?n2?2) 1?1合n1n2S?211n1?1?n11(Xi?X)；S?2221n2?1?n21(Yi?Y)；S合?22(n1?1)S12?(n2?1)S2n1?n2?2
⊙基本运算方法：
1、基本概念及抽样方法：
例1、如果抽选10人作样本，在体重50公斤以下的人中随机抽选2人，50~65 公斤的人中随机选5人，65公斤以上的人中随机选3人，这种抽样方法称作（ ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．整群抽样 解析：本题考察概率抽样方法的分类，答案为C。
例2、将总体单元按某种顺序排列,按照规则确定一个随机起点,然后每隔一定的 间隔逐个抽取样本单元。这种抽选方法称为（ ） A．系统抽样 B．简单随机抽样 C．分层抽样 D．整群抽样 解析：本题考察概率抽样方法的分类，答案为A。 2、抽样分布与中心极限定理：
例1、一个具有任意分布形式的总体，从中抽取容量为n的样本，随着样本容量 的增大，样本均值X将逐渐趋向于（ ） A．泊松分布
B．?2分布
C．F分布 D．正态分布 解析：本题考察中心极限定理，答案为D。
例2、在简单随机抽样中，如果将样本容量增加9倍，则样本均值抽样分布的标 准误差将变为原来的（ ） A．1／9倍 C．3倍
B．1／3倍 D．9倍
?2?解析：由于D(X)＝, 从而标准误差为，答案为B。
nn例3、对于容量为N的总体进行不重复抽样（样本容量为n），样本均值X的方差为（ ）
?2N?n) A.(nN?1?2B. n?2N?n) C.(nN?2D. N?1解析：本题考察样本均值的抽样分布，答案为A。
例4、设X1，X2，?，Xn是从正态总体N（μ，σ2）中抽得的简单随机样本， 其中μ已知，σ2未知，n≥2，则下列说法中正确的是（ ） A．
?2n(Xi??)是统计量
n2B．
?2n?Xi?1nn2i是统计量
C．
(Xn?1?i?1?2i??)是统计量
21 D．
n?1?(Xi?1i??)2是统计量
解析：本题考察的是统计量的概念，不能含有未知参数，故答案为D。 例5、一个具有任意分布形式的总体，从中抽取容量为n的样本，随着样本容量的增大，样本均值逐渐趋向正态分布，这一结论是( ) A.抽样原理 B.假设检验原理 C.估计原理 D.中心极限定理 解析：本题考察的是中心极限定理的内容，答案为D。 3、三种小样本分布与几种重要统计量的分布
1例1、从总体X~N（?,?）中抽取样本X1,??Xn，计算样本均值X?n2?Xi?1ni，
nX??1样本方差S?服从（ ） (Xi?X)2，当n<30时，随机变量
n?1i?1S/n2?A．?2分布 B．F分布
C．t分布 D．标准正态分布
解析：本题考察的是几种重要统计量的分布中的t分布，答案为C。
1例2、从总体X~N（?,?）中重复抽取容量为n的样本，则样本均值X?n2?Xi?1ni标准差为（ ）
?2A．
nB．D．
?n
?2C．
n? n?2解析：本题考察的仍然是样本均值的抽样分布，由D(X)＝知答案为D。
n
第五章 参数估计
⊙基本知识点： 一、 参数估计
1. 参数点的估计：设总体分布中含有未知参数θ，从总体中抽取一个样本
X1，X2，??Xn，用来估计未知参数θ的统计量?（X1，X2，??Xn）称为参数θ的一个估计量，若X1，X2，??Xn是样本的一组观察值，则
???（X1，X2，??Xn）称为参数θ的一个点估计值。 2. 估计量的评价标准：
1) 无偏性：设?是总体中未知参数θ的估计量，若E???则称?是θ
的无偏估计量。样本均值X是总体均值μ的无偏估计量，EX??；样本方差S2是总体方差σ2的无偏估计量，ES2＝σ2。
2) 有效性：θ的方差最小的无偏估计量称为θ的有效估计量；正态总
体的样本均值X是总体均值μ的有效估计量。（以上两种情况在样本容量固定的情况下发生；当样本容量增大是?越来越接近真值。） 3) 一致性：若当样本容量增大时，估计量?的值越来越接近未知参数θ
的真值，则称?是θ的一致估计量。样本方差是总体方差的一致估计量。
二、 总体均值的区间估计：
1. 设θ是总体分布中的未知参数，X1，X2，??Xn是总体的一个样本，若
对给定的α（0<α<1），参在两个估计量?1（X1，X2，??Xn）和?2（X1，
???均值
均值
???????????)?1??，则称随即区间（?1，?2）位参数X2，??Xn），使P(?12θ的置信度位1－α的置信区间。α称为显著水平。 2. 意义：随机区间（?1，?2）包含θ真值的概率是1－α。
????????????估计量X～N(?，) 3. 待估参数总体均值nX1，X2??Xn样本?2?大样本,或?已知X???置信区间??????Z?～N(0,1)?????X?Z???n2?n?标准化,置信度1－?????????X??S小样本?未知,以S代替?置信区间?????????t?～t(n?1)?????X?t?(n?1)?Sn2?n?
4. 总体均值的置信区间（置信度1－α） 总体分布 样本量 σ已知 正态分布 大样本 ? X?z?n2正态分布 小样本 σ未知 X?Z?2S nX?Z?2?n X?t?(n?1)2Sn 非正态分布 大样本 X?Z?2?n X?Z?2?n三、 总体比例的区间估计： 总体比例的置信区间（置信度1－α） 样本量 抽样方式 置信区间 大样本 有放回抽样 P(1?P)P?Z? n2无放回抽样 P?Z?2P(1?P)N?n ?nN?1四、 两个总体均值之差的置信区间（置信度1－α） 总体样本σ已知 σ未知 分布 量 正态大样用S1代替σ1 2?12?2? 分布 本 X?Y?Z?用S2代替σ2 n1n22正态小样分布 本 非正态分布 大样本 X?Y?Z?2?12n1?2?2n22?2 X?Y?t?(n1?n2?2)?S合211? n1n2X?Y?Z?2?12n1?n2 用S1代替σ1 用S2代替σ2 五、
大样本，两个总体比例之差（p1?p2）的置信区间，置信度（1－α）：
《数量方法（二）》(代码00994)自学考试复习提纲-附件1
