关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：
（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；
（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题
x2y2??1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线例1 过椭圆164方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：
(4k2?1)x2?8(2k2?k)x?4(2k?1)2?16?0
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是
8(2k2?k)x1?x2?， 24k?1x1?x24(2k2?k)??2， 又M为AB的中点，所以
24k2?11解得k??，
2故所求直线方程为x?2y?4?0。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1?x2?4，y1?y2?2，
又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2?16， 两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0，
22222222y1?y2x?x211??1??，即kAB??，
x1?x24(y1?y2)22故所求直线方程为x?2y?4?0。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1），
所以
则另一个交点为B(4-x,2?y)，
?x2?4y2?16因为A、B两点在椭圆上，所以有?， 22?(4?x)?4(2?y)?16两式相减得x?2y?4?0，
由于过A、B的直线只有一条，
故所求直线方程为x?2y?4?0。 二、求弦中点的轨迹方程问题
x2y2??1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。 例2 过椭圆
6436解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），
1
?9x12?16y12?57622229(x?x)?16(y?y则有?，两式相减得1212)?0， 22?9x2?16y2?576又因为x1?x2?2x，y1?y2?2y，所以9?2x(x1?x2)?16?2y(y1?y2)?0， 所以
y1?y29xy9xy?0??，而kPQ?，故。
x1?x216y16yx?8x?(?8)22化简可得9x?72x?16y?0 （x??8）。 解法二：设弦中点M（x,y），Q（x1,y1），由x?22x1?8y，y?1可得x1?2x?8，y1?2y， 22x1y14(x?4)24y2??1，即??1， 又因为Q在椭圆上，所以
64366436(x?4)2y2??1 （x??8）。 所以PQ中点M的轨迹方程为
169三、弦中点的坐标问题
例3 求直线y?x?1被抛物线y?4x截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线y?x?1与抛物线y?4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点
22?y?x?1P(x0,y0)，由题意得?2，
?y?4x2消去y得(x?1)?4x，即x?6x?1?0，
2所以x0?x1?x2?3，y0?x0?1?2，即中点坐标为(3,2)。 22解法二：设直线y?x?1与抛物线y?4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)，
?y12?4x122由题意得?2，两式相减得y2?y1?4(x2?x1)，
?y2?4x2所以
(y2?y1)(y2?y1)?4，
x2?x1所以y1?y2?4，即y0?2，x0?y0?1?3，即中点坐标为(3,2)。
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论
22Ax?Cy?Dx?Ey?F?0上的两点，P(x0,y0)为弦AB引理 设A、B是二次曲线C：
的中点，则
2
kAB??2Ax0?D(2Cy0?E?0)2Cy0?E。
22设A(x1,y1)、B(x2,y2)则Ax1?Cy1?Dx1?Ey1?F?0……（1）
22Ax?Cy2?Dx2?Ey2?F?0 ……（2） 2(1)?(2)得A(x1?x2)(x1?x2)?C(y1?y2)(y1?y2)?D(x1?x2)?E(y1?y2)?0
∴∴
2Ax0(x1?x2)?2Cy0(y1?y2)?D(x1?x2)?E(y1?y2)?0 (2Ax0?D)(x1?x2)?(2Cy0?E)(y1?y2)?0
2Ax0?D2Ax0?Dy1?y2kAB????2Cy0?E?0∴x1?x2 ∴x1?x22Cy0?E。2Cy0?E即∵（说明：当A???B时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P(x0,y0)的切线斜率公式，即
2Ax0?Dk??2Cy0?E）
22(x,y)y?0)，则
推论1 设圆x?y?Dx?Ey?F?0的弦AB的中点为P00（0kAB??
2x0?D2x?Dk??02y0?E。2y0?E（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率
为）
b2x0x2y2kAB??2??2?12(x,y)y?0)ay0。b推论2 设椭圆a的弦AB的中点为P00（0，则（注：
b2x0k??2?ay0） 对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为
b2x0x2y2kAB?2??2?12(x,y)y?0)ay0。b推论3 设双曲线a的弦AB的中点为P00（0则（假
b2x0k?2?ay0） 设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为
2y?2px的弦AB的中点为P(x0,y0)（y0?0)则推论4 设抛物线
pk?)y0
在抛物线上，则过点P的切线斜率为
kAB?py0。
（假设点P
我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。
x2y2??1例1、求椭圆2516斜率为3的弦的中点轨迹方程。
16x3???25y，故所示的轨迹方程为16x+75y=0 解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有
7575?x?)241241
x2y2?2?1(a?b?0),2ab例2、已知椭圆A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴(? 3
a2?b2a2?b2??x0?(x,0)aa。 相交于P0，求证：
证明：设AB的中点为T(x1,y1)，由题设可知AB与x轴不垂直，∴y1?0，
b2x1a2y1kAB??2?kl?2?ay1 ∵l⊥AB ∴bx1 ∴
a2y1a2y1y?y1?2?(x?x1)0?y1?2?(x0?x1)bx1bx1∴l的方程为： 令y=0 得
a2a2x1?22?x0|22?x0|?a|x|?aa?b1∴ ∵ ∴a?b
a2?b2a2?b2??x0?aa ∴
例3、已知抛物线C：y?x，直线
2l:y?k(x?1)?1,要使抛物线C上存
在关于l对称的两点，k的取值范围是什么？
解：设C上两点A、B两点关于l对称，AB的 中点为P
(x0,y0)（y0?0)
1p11kAB??2??y0??ky0y0k ∴2∵P∈l∴y0?k(x0?1)?1, ∴111111?k?k(x0?1)?1,x0??P(?,?k)2k ∴2k2 ∴2 ∴
1211k3?2k?4k???0,4k42k∵P在抛物线内 ，∴ ∴
(k?2)(k2?2k?2)?0,4k∴ ∴?2?k?0.
与抛物线有关的弦的中点的问题
（1）中点弦问题：
4
（上题麻烦了。是圆不用中点法）
例1 由点(?2,0)向抛物线y?4x引弦，求弦的中点的轨迹方程。
分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。 解法1：利用点差法。
设端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?4x1，y2?4x2， 两式相减得y2?y1?4(x2?x1)， ① ①式两边同时除以x2?x1，得(y2?y1)?22222y2?y1?4， ②
x2?x1设弦的中点坐标为(x,y)，则x1?x2?2x，y1?y2?2y， ③ 又点(x,y)和点(?2,0)在直线AB上，所以有
y?y1y?2。 ④ x?2x2?x1将③、④代入②得2y?y?4， 整理得y2?2(x?2)。 x?222故得中点的轨迹方程是y?2(x?2)在抛物线y?4x内部的部分。
解法2：设弦AB所在直线的方程为y?k(x?2)，
?y?k(x?2)由方程组?2?y?4x(1)(2) 消去x并整理得ky?4y?8k?0， （3）
2设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点(x,y)，对于方程（3），由根与系数的关系，有y1?y2?∴y?
4， ky1?y22?代入（1）得y2?2(x?2) 2k5
圆锥曲线中点弦问题
