概率论与数理统计课后答案 北邮版
习题三
1、将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值、试写出X与Y的联合分布律、 【解】X与Y的联合分布律如表: Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1g??? 322280 1 8110 21C3g???3/8 22211110 ??? 22282、盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数、求X与Y的联合分布律、 【解】X与Y的联合分布律如表: Y X 0 0 1 0 2 22C3gC23 ?4C7352C3gC1C1122g2 ?4C73522C3gC23 ?4C7353 1C3gC232 ?4C7350 1 0 2C1C1C263g2g ?4C7352C1C2gC163g2 ?4C735C3C123g2 ?4C7350 2 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22g2/C7?1 353、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F(x,y)=?22
?其他.?0,求二维随机变量(X,Y)在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率、 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636ππππππ?singsin?singsin?sin0gsin?sin0gsin434636
2?(3?1).4 1
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题3图
说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4、设随机变量(X,Y)的分布密度
f(x,y)=??Ae?(3x?4y),x?0,y?0,?0,其他.
求:(1) 常数A;
(2) 随机变量(X,Y)的分布函数; (3) P{0≤X<1,0≤Y<2}、 【解】(1) 由
??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A12?1 得 A=12 (2) 由定义,有 F(x,y)??y???x??f(u,v)dudv
?yy?(3u? ????4v)dudv??(1?e?3x0?012e)(1?e?4y)y?0,x?0,???0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??10?2012e?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5、设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.
(1) 确定常数k;
(2) 求P{X＜1,Y＜3}; (3) 求P{X<1、5}; (4) 求P{X+Y≤4}、 【解】(1) 由性质有
??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?18
(2) P{X?1,Y?3}??1?3????f(x,y)dydx
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?(3) P{X?1.5}?x?1.5??13 k(6?x?y)dydx??0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
13D1 ??1.50dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??2127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D2?0dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83
题5图
6、设X与Y就是两个相互独立的随机变量,X在(0,0、2)上服从均匀分布,Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY(y)=?
0,其他.?求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) P{Y≤X}、
题6图
【解】(1) 因X在(0,0、2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而
?5e?5y,y?0,fY(y)??
其他.?0,所以
f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)
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?1?5y ???0.2?5e??25e?5y,0?x?0.2且y?0, ???0,?0,其他.(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图y???x??25e?5ydxdy
D0.2x-5y0.2x
??0dx?025edy??0(?5e?5?5)dx
=e-1?0.3679.7、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
?(1?e?4x)(1?e?2yF(x,y)=?),x?0,y?0,?0,其他.
求(X,Y)的联合分布密度、
,y)??2F(x,y)?8e?(4x?2y)【解】f(x,x?0,y?0,?x?y?? ?0,其他.8、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.
求边缘概率密度、 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
? =???x204.8y(2?x)dy??2.4x(2?x),0?x?1, ?0,???0,其他. fY(y)??????f(x,y)dx
?1 =???y4.8y(2?x)dx????2.4y(3?4y?y2),0?y?1,?0,?0,其他.
题8图 题9图
9、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=??e?y,0?x?y,?0,其他.
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求边缘概率密度、 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
????y? =???dy??exxe,x?0,?0,? ??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
? =???y?y?x0edx??ye,y?0,???0,?0,其他.
题10图
10、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.
(1) 试确定常数c;
(2) 求边缘概率密度、 【解】(1)
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1. 得
c?214、 (2) fX(x)??????f(x,y)dy
? ????1212ydy??21x2(1?x4x2x),?1?x?4??8?1,?0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?????y212ydx??75?yxy2,0?y?1, ?4??2?0,??0, 其他.11、设随机变量(X,Y)的概率密度为
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