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（2） 注意事项 ① 若 ?Fi外?0，则系统无论沿那个方向的动量都守恒； ② 若 ?Fi外?0，但若某一方向的合外力零，则该方向上动量守恒； ③ 必须把系统内各量统一到同一惯性系中； ④ 若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。 例4：质量为M的木块在光滑的固定斜面上由A 点从静止开始下滑，当经过路程l运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块内。设子弹的质量为m，速度为v。求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度。 解：这个问题有两个物理过程： M A mv L θ B 例2-6 图 第一过程为木块M沿光滑的固定斜面下滑，到达B点时速度的大小为 v1?2glsin?， 方向：沿斜面向下。 第二个过程：子弹与木块作完全非弹性碰撞。在斜面方向上，内力的分量远远大于外力，动量近似守恒，以斜面向上为正，则有 mvcos??Mv1?(m?M)v， 得 v? 例5:如图所示，一辆装矿砂的车厢以v= 4m/s的速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为k=200kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力? （忽略车厢与地面的摩擦力） 解：设t时刻已落到车厢的矿砂质量为m，经dt后又有dm=kdt的矿砂落入车厢。取m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量定理为 6
mvcos??M2glsin?。 m?M大学物理学
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Fdt?(m?dm)v?(mv?dm?0)?vdm?kdt?v， 则 F?kv?2000?4?8?10(N)。 3§2.3 功 动能 势能 机械能守恒定律 一 、功 功率 1、恒力功的定义： 定义式:W?F??r?F?rcosθ, 即力的功，等于在该力作用下的质点的位移与该力的标积。 功的单位：在SI制中为焦耳（J）。 2、变力的功： 1 ① 元功：dW =F?dr= F ?ds?cos? ② dW在F -x图上的几何意义 ： ③ 变力在一段有限位移上的功 W? 3、功的直角坐标系表示式： 设:F?Fxi?Fyj?Fzk，dr 则W 4、功率 2x2y22dW = F（x）dr ?1F?dr ?dxi?dyj?dzk， z2z1??F?dr??Fxdx??Fydy??Fzdz?Wx?Wy?Wz。 1x1y17
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N?dW?F?dr?F?v。 dtdt功率的单位：在SI制中为瓦特（W）。 5、 保守力的功 (a) 重力做的功 （b）引力做的功 （a）重力做的功 W??mg?dr， 12??mg?drcosθ。 12 ∵drcos???dy， ?W???mgdy??(mgy2?mgy1)。 12 （b）万有引力的功 力函数F??GMmr0，元位移dr， r2Mm则 dW?-GMmr0?dr??G2r0?drcos? 2rr??GMm， drr2?W???Gr1r2?MmMm?GMm?。 dr???(?G)?()?2rr2r1??（c）弹性力的功 xx112则W??F?dr???kxi?dxi??(kx2?kx0)。 x0x022 8
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二、动能定理 将 F?mdv 两边点乘 drdt 得 ?vdt， dW=F?dr?mv?dv 可以证明 v?dv?vdv， 即 v?dv?dv?vcos??vdv?cos??vdv。 2当力在一段有限位移上作功时 22112 W??dW??F?dr??(mv2)?1mv2?mv1211222质点的动能定理：外力对质点作的功等于质点动能的增量。 动能与动量的区别： ? dW=F?dr?d(1mv2) 1、动能是标量，动量是矢量； 2、系统内力的冲量不能改变物体系的总动量，但内力的功可以改变物体系的总动能（因为?S1不一定等于?S2）。 三、势能 如某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。即 ?F保?dr?0。 l如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力。 因此，可以引入一个由相对位置决定的函数。由于功是体系能量改变的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质，称之为势能（或曰位能），若用Ep表示，则有 ?2F保?dr???EP， r1r由定积分转换成不定积分，则是 EP???F保?dr?c。 式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。 例如，弹性势能 Ep?-kxdx?1kx2?c。 ?2 重力势能 万有引力势能 9
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势能函数的一般特点： 1、对应于每一种保守力就可引进一种相关的势能； 2、势能是彼此以保守力作用的系统所共有。 因此，保守力的功等于势能增量的负值（?r2r1F保?dr???EP）实际上是一对保守力的功等于系统势能增量的负值。 3 、势能是相对量，其大小与所选取的势能零点有关。 F 四、质点系的动能定理与功能原理 1、质点系的动能定理 如果研究对象是几个物体组成的物体系， F表示外力，F12与F21表示内力，则有 对m1： 对m2： F12 F21 m1 m2 ?21F?dr1??F12?dr1?12 1122质点系的动能定理， m1v1?m1v10221122， mv?m2v2022?122 对m1+ m2： 2F21?dr2??21F?dr1??F12?dr1??F21?dr211221111222?(m1v12?m2v2)?(m1v10?m2v20)2222 上式表明，合外力的功与内力的功的总和等于物体系动能的增量。即 W外?W内?Ek?Ek0。 上式称为物体系的动能定理。当时W外?W内?0，Ek?Ek0，物体系的动能守恒。 2、功能原理 对于单个质点 Wi?Eik2?Eik1， ?外力??Wi外???内保守力??Wi内保 对于质点系，因其受力有 ??内力?????内非保守力??Wi内非? ∴ Wi外?Wi内保?Wi内非?Eik2?Eik1。 对i求和： W外?W内保?W内非?Ek2?Ek1， 10
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大学物理教案-第2章 质点动力学
