2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分）
（1）若函数
?1?cosx,x?0,?在x?0处连续，则（ ） f(x)??ax?b,x?0?(A)ab?11。 (B)ab??。 22(C)ab?0。 (Dab?2。
【答案】(A)
【解】
f(0?0)?lim1?cosx1?，f(0)?f(0?0)?b，
x?0?ax2a因为
f(x)在x?0处连续，所以f(0?0)?f(0)?f(0?0)，从而ab?f(x)可导，且f(x)?f?(x)?0，则（ ）
1，应选(A)。 2（2）设函数
(A)f(1)?f(?1)。 (B)f(1)?f(?1)。 (C)|f(1)|?|f(?1)|。 (D)|f(1)|?|f(?1)|。
【答案】(C) 【解】若若
f(x)?0，则f?(x)?0，从而f(1)?f(?1)?0；
f(x)?0，则f?(x)?0，从而f(1)?f(?1)?0，故|f(1)|?|f(?1)|，应选(C)。
f(x,y,z)?x2y?z2在点(1,2,0)处沿向量n?{1,2,2}的方向导数为（ ）
（3）函数
(A)12。 (B)6。 (C)4。 (D)2。
【答案】(D)
【解】
?f?f?f?x2，?2xy，?2z， ?y?x?z?f?f?f|(1,2,0)?1，|(1,2,0)?4，|(1,2,0)?0， ?y?x?z122cos??,cos??,cos??，所求的方向导数为
33312|(1,2,0)?4??1??2，应选(D)。
33?n（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?f?v1(t)?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开
始后乙追甲的时刻为t0（单位：s），则（ ）
(A)t0?10。 (B)15?t0?20。 (C)t0?25。 (D)t0?25。
【答案】 【解】
（5）设?为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ）
(A)E???T不可逆。 (B)E???T不可逆。 (C)E?2??T不可逆。 (D)E?2??T不可逆。
【答案】(A)
【解】令令
A???T，A2?A，
AX??X，由(A2?A)X?(?2??)X?0得?2???0，??0或??1，
??T??1??1????n得A的特征值为?1????n?1?0,?n?1，
因为tr(A)E???T的特征值为?1????n?1?1,?n?0，从而|E???T|?0，
即E???T不可逆，应选(A)。
?200??210??100???????A?021,B?020,C?020（6）已知矩阵??????，则 （ ）
?001??001??002???????(A)A与C相似，B与C相似。 (B)A与C相似，B与C不相似。 (C)A与C不相似，B与C相似。(D)A与C不相似，B与C不相似。
【答案】(B) 【解】
A,B,C的特征值为?1??2?2,?3?1，
?000???由2E?A??00?1?得r(2E?A)?1，则A可相似对角化，从而A~C；
?001????0?10???00?得r(2E?B)?2，则B不可相似对角化，从而B与A,C不相似，应选由2E?B??0?001???(B)。
（7）设
A,B为随机事件，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，则P(A|B)?P(A|B)的充要条件是
（ ）
(A)P(B|A)?P(B|A)。 (B)P(B|A)?P(B|A)。 (C)P(B|A)?P(B|A)。 (D)P(B|A)?P(B|A)。
【答案】(A)
【解】由P(A|B)?P(A|B)得
P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)，等价于 ??P(B)1?P(B)P(B)P(AB)?P(A)P(B)； P(B|A)?P(B|A)等价于
应选(A)。
P(AB)P(B)?P(AB)?，即P(AB)?P(A)P(B)，
P(A)1?P(A)1n（8）设X1,X2,?,Xn（n?2）为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xini?1结论不正确的是（ ）
，则下列
(A)?(Xi??)2i?1nn服从?分布。
2(B)2(Xn?X1)2服从?2分布。
(C)?(Xi?X)2i?1服从?分布。
2(D)n(X??)2服从?2分布。
【答案】(B)
【解】若总体
X~N(?,?2)，则
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