2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分)
(1)若函数
?1?cosx,x?0,?在x?0处连续,则( ) f(x)??ax?b,x?0?(A)ab?11。 (B)ab??。 22(C)ab?0。 (Dab?2。
【答案】(A)
【解】
f(0?0)?lim1?cosx1?,f(0)?f(0?0)?b,
x?0?ax2a因为
f(x)在x?0处连续,所以f(0?0)?f(0)?f(0?0),从而ab?f(x)可导,且f(x)?f?(x)?0,则( )
1,应选(A)。 2(2)设函数
(A)f(1)?f(?1)。 (B)f(1)?f(?1)。 (C)|f(1)|?|f(?1)|。 (D)|f(1)|?|f(?1)|。
【答案】(C) 【解】若若
f(x)?0,则f?(x)?0,从而f(1)?f(?1)?0;
f(x)?0,则f?(x)?0,从而f(1)?f(?1)?0,故|f(1)|?|f(?1)|,应选(C)。
f(x,y,z)?x2y?z2在点(1,2,0)处沿向量n?{1,2,2}的方向导数为( )
(3)函数
(A)12。 (B)6。 (C)4。 (D)2。
【答案】(D)
【解】
?f?f?f?x2,?2xy,?2z, ?y?x?z?f?f?f|(1,2,0)?1,|(1,2,0)?4,|(1,2,0)?0, ?y?x?z122cos??,cos??,cos??,所求的方向导数为
33312|(1,2,0)?4??1??2,应选(D)。
33?n(4)甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中,实线表示甲的速度曲线v(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线v?f?v1(t)?v2(t),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开
始后乙追甲的时刻为t0(单位:s),则( )
(A)t0?10。 (B)15?t0?20。 (C)t0?25。 (D)t0?25。
【答案】 【解】
(5)设?为n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则( )
(A)E???T不可逆。 (B)E???T不可逆。 (C)E?2??T不可逆。 (D)E?2??T不可逆。
【答案】(A)
【解】令令
A???T,A2?A,
AX??X,由(A2?A)X?(?2??)X?0得?2???0,??0或??1,
??T??1??1????n得A的特征值为?1????n?1?0,?n?1,
因为tr(A)E???T的特征值为?1????n?1?1,?n?0,从而|E???T|?0,
即E???T不可逆,应选(A)。
?200??210??100???????A?021,B?020,C?020(6)已知矩阵??????,则 ( )
?001??001??002???????(A)A与C相似,B与C相似。 (B)A与C相似,B与C不相似。 (C)A与C不相似,B与C相似。(D)A与C不相似,B与C不相似。
【答案】(B) 【解】
A,B,C的特征值为?1??2?2,?3?1,
?000???由2E?A??00?1?得r(2E?A)?1,则A可相似对角化,从而A~C;
?001????0?10???00?得r(2E?B)?2,则B不可相似对角化,从而B与A,C不相似,应选由2E?B??0?001???(B)。
(7)设
A,B为随机事件,若0?P(A)?1,0?P(B)?1,则P(A|B)?P(A|B)的充要条件是
( )
(A)P(B|A)?P(B|A)。 (B)P(B|A)?P(B|A)。 (C)P(B|A)?P(B|A)。 (D)P(B|A)?P(B|A)。
【答案】(A)
【解】由P(A|B)?P(A|B)得
P(AB)P(AB)P(A)?P(AB),等价于 ??P(B)1?P(B)P(B)P(AB)?P(A)P(B); P(B|A)?P(B|A)等价于
应选(A)。
P(AB)P(B)?P(AB)?,即P(AB)?P(A)P(B),
P(A)1?P(A)1n(8)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本,记X??Xini?1结论不正确的是( )
,则下列
(A)?(Xi??)2i?1nn服从?分布。
2(B)2(Xn?X1)2服从?2分布。
(C)?(Xi?X)2i?1服从?分布。
2(D)n(X??)2服从?2分布。
【答案】(B)
【解】若总体
X~N(?,?2),则
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析
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