一、带电粒子在复合场中的运动专项训练
1．下图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场.其中MN和M?N?是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和
O?，O?N??ON?d，P为靶点，O?P?kd（k为大于1的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U。质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加
速，经O?进入磁场区域.当离子打到极板上O?N?区域（含N?点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小； （2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试物理（重庆卷带解析) 【答案】（1）B?22qUm22nqUm（2）B?，(n?1,2,3,qkdqkd,k2?1)（3）
22(k?1)mt磁=，t=h 电222qum(k?1)qU(2k2?3)?mkd【解析】 【分析】
带电粒子在电场和磁场中的运动、牛顿第二定律、运动学公式。 【详解】
（1）离子经电场加速，由动能定理：
qU?可得v?12mv 22qU m磁场中做匀速圆周运动：
v2qvB?m
r刚好打在P点，轨迹为半圆，由几何关系可知：
r?联立解得B?kd 222qUm； qkd（2）若磁感应强度较大，设离子经过一次加速后若速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在P点，而做圆周运动到达N?右端，再匀速直线到下端磁场，将重新回到O点重新加速，直到打在P点。设共加速了n次，有：
nqU?12mvn 22vnqvnB?m
rn且：
rn?解得：B?kd 222nqUm，
qkdd 2要求离子第一次加速后不能打在板上，有
r1?且：
qU?12mv1 2v12qv1B?m
r1解得：n?k2，
故加速次数n为正整数最大取n?k2?1 即：
B?22nqUm(n?1,2,3,qkd,k2?1)；
（3）加速次数最多的离子速度最大，取n?k2?1，离子在磁场中做n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P点。 由匀速圆周运动：
T?2?r2?m? vqBT(2k2?3)?mkdt磁=(n?1)T??
222qum(k2?1)电场中一共加速n次，可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式
(k2?1)h?a?12at电 2qU mh2(k2?1)m可得：t电=h qU
2．离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，某种推进器设计的简化原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．I为电离区，将氙气电离获得1价正离子；II为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．I区产生的正离子以接近0的初速度进入II区，被加速后以速度vM从右侧喷出．I区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线R/2处的C点持续射出一定速度范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图所示（从左向右看）．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角（0<α<90?）．推进器工作时，向I区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速度为v0，电子在I区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．为M；电子质量为m，电量为e．（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）．
（1）求II区的加速电压及离子的加速度大小；
（2）为取得好的电离效果，请判断I区中的磁场方向（按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）；
（3）α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围； （4）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系．
【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理（浙江卷带解析)
23eRB4mv0vMv?（4）max【答案】（1）（2）垂直于纸面向外（3）B?
4m2?sin???3eR2L【解析】 【分析】 【详解】
21MvM2（1）离子在电场中加速，由动能定理得：eU?MvM,得：U?．
22e2vM离子做匀加速直线运动，由运动学关系得:v?2aL,得：a?．
2L2M（2）要取得较好的电离效果，电子须在出射方向左边做匀速圆周运动，即为按逆时针方向旋转，根据左手定则可知，此刻Ⅰ区磁场应该是垂直纸面向外．
（3）当??90?时，最大速度对应的轨迹圆如图一所示，与Ⅰ区相切，此时圆周运动的半径为
r?洛伦兹力提供向心力，有
3R 4Bevmax得
2vmax ?mrvmax?即速度小于等于
3BeR 4m3BeR 4m此刻必须保证B＞4mv0． 3BR（4）当电子以?角入射时，最大速度对应轨迹如图二所示，轨迹圆与圆柱腔相切，此时有：
?OCO??90?﹣?
OC?由余弦定理有
R，OC??r，OO??R﹣r 2R?R?2，cos（90???）?sin? (R﹣r）????r2﹣2r??cos（90?﹣?）2?2?联立解得：
2r?再由：r?3R
4??2?sin??mvmax，得 Bevmax?3eBR．
4m?2?sin??
考点：带电粒子在匀强磁场中的运动、带电粒子在匀强电场中的运动 【名师点睛】
该题的文字叙述较长，要求要快速的从中找出物理信息，创设物理情境；平时要注意读图能力的培养，以及几何知识在物理学中的应用，解答此类问题要有画草图的习惯，以便有助于对问题的分析和理解；再者就是要熟练的掌握带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期和半径公式的应用．
3．如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中．不计重力和粒子间的影响．
（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；
（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射．研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值vm．
【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理（福建卷带解析) 【答案】⑴【解析】
试题分析：(1)当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，半径R1＝a/2
；⑵两个 sinθ=
；⑶
＋
．
v12由运动定律有Bqv1?m
R1
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