3.1、一船蓬高4m，在雨中航行时，它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后2m的甲板；但当停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m处。如果雨点的速率是8m/s。求船航行的速率u
rrr解：由题意设雨的绝对速度为v，雨的相对速度为v'，船航行的速度为u，数据如图所示。 则有v?v'?vb
在速度三角形?ABC中，正弦定理：
rrrAruusin(???)u??vvsin(?????/2)?v' sin?rrv?v'?B4mC2m3m?sin(?????/2)sin(???)?442?22vvsin(???)?(sin?cos??cos?sin?) cos?cos?221?，sin?? 22554?2由图中数据知：cos???cos??442?32?433? ，sin??542?325已知雨的绝对速率v?8m/s
代入前面数据可得：
u?v81423(sin?cos??cos?sin?)?(?)m/s?8m/s
2cos?555553.2、河的宽度为d，水的流速与离开河岸的距离成正比。岸边水的流速为0，河中心处水的流速为c，河中一小船内的人，以相对于水流恒定的速率u，垂直于水流向岸边划去。求小船的航行轨迹和抵达对岸的地点。
解：建立如图坐标系o-xy，取小船的出发点为x0。x轴垂直于河岸，y轴平行于河岸 因河流中心水流速度为c，水的流速与离开河岸的距离成正比 所以水流速度vt为：
rryrcod2c)水流速率为：vt?x 2dd2c河的右侧(?x?d)水流速率为：vt?(d?x)
2drrrrrrr&?yj&?vtj?ui 由速度变换关系知：v?vt?u?xi河的左侧(0?x?小船位于河岸的左侧内(0?x0?rrvvtruxd河岸河岸d)： 2&x?u &?vt?y2cx dx2cx2c2cdt积分有?xdt??xdx??xdx
00dx0dx0uddxc2c2d解得y?x?x0 ，(0?x,x0?)
udud2d小船位于河岸的右侧内(?x0?d)：
2&x?u
2c&?vt?(d?x) ydtt2cx2cx2cdt&??积分有?ydt(d?x)dt??(d?x)dx??(d?x)dx 00dx0dx0dxudcd解得y?[(x0?d)2?(x?d)2]，(?x,x0?d)
ud2t&??ydtt所以小船的航行轨迹为：
c2c2dx?x0 ，(0?x,x0?) udud2cdy?[(x0?d)2?(x?d)2]，(?x,x0?d)
ud2dd
若小船位于河岸的左侧内(0?x0?)，当抵达河的中心时有：x?
22
cdc2那么y1??x0
4uuddcd若小船位于河的中心(x0?)，当抵达河岸时，x?d，那么y2?
24udcdc2所以小船位于河岸的左侧内(0?x0?)，当抵达河岸时，y?y1?y2??x0
22uuddc若小船位于河岸的右侧内(?x0?d)，当抵达河岸时，x?d，那么y?(x0?d)2
2udcd若小船从河岸的左侧出发，x0?0，那么y?
2ur3.3、一圆盘以匀角速度?绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点M沿圆盘上的弦，以
r恒定的相对速度u运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为b。求在以地面为参考系时，质点M的速度和加速度(表示成质点M离弦中点的距离x的函数)。 y?解：在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角坐标系O?xyz，地面为惯性系。则：
rrrrrrrrrrrrvM?v'?vO???r'?v'???r'?ui??k?(xi?bj) rr?(u??b)i??xjrrrrrrdvMd*vMrrraM?????vM??uj??k?[(u??b)i??xj] dtdtrr???2xi?(2?u??2b)jyAbOMr?x&或利用aM?a'?aO???r'???(??r')?2??v'可直接求出。
rrrrrrrrrr3.4、一飞机在赤道上空以速率1000km/h水平飞行，考虑到地球的自转效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系，不随地球转动的坐标系)的速率： (i)向北飞行 (ii)向西飞行
(iii)向东飞行。已知地球半径为6370km
解：建立如图所示的直角坐标系O?xyz，使飞机位于x轴上。 zr?rr?5则???k?7.29?10rad/s(k) r飞机位于赤道上空以速率1000km/h水平飞行， 则v'?1000km/h?2.78?10m/s
2Nrrr6r'?r'i?6.37?10m(i) rrrrrrv?v'?vt???r'?v'???r'
rrOyPxrr(i)向北飞行，那么v'?v'k
Srrrrrrrv?v'???r'?2.78?102m/s(k)?7.29?10?5rad/s(k)?6.37?106m(i) rr2?2.78?10m/s(k)?464.37m/s(j)所以v?(2.78?102)2?(464.37)2m/s?541m/s (ii)向西飞行，那么v'??v'j
rrrrrrrrr2?56v?v'???r'??2.78?10m/s(j)?7.29?10rad/s(k)?6.37?10m(i) rrr2??2.78?10m/s(j)?464.37m/s(j)?186m/s(j)rr(iii)向东飞行，那么v'?v'j
rrrrrrr2?56v?v'???r'?2.78?10m/s(j)?7.29?10rad/s(k)?6.37?10m(i) rrr2?2.78?10m/s(j)?464.37m/s(j)?742m/s(j)3.5、一契子，顶角为?，以匀加速度?0沿水平方向加速运动。质量为m的质点沿楔子的
rrr光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度a'及质点对楔子斜面的压力F
解：建立如图所示的直角坐标系附着在楔子上。 在O?xyz中的受力分析如图所示。则有：
yOr?ma0rrrFNj?mgcos?j?ma0sin?j?0 (1) rrrmgsin?i?ma0cos?i?ma' (2)
rFNmrmgra0?xrr由(1)式可求得：FNj?m(gcos??a0sin?)j
rrr所以质点对楔子斜面的压力F??FN??m(gcos??a0sin?)j
rr由(2)式可求得：a'?(gsin??a0cos?)i
3.6、一缆车，以大小为a0，与地平线成?角的匀加速度上升，缆车中一物体自离缆车地板高度h处自由下落。求此物体落至地板处的位置。 解：建立如图所示的直角坐标系O?xyz附着在缆车上 取物体开始落的位置为原点。质点运动的平面为O?xy 受力分析如图示。
设质点自由下落到地板的时间为t，则有：
y?r?ma0ra01x方向：(g?a0sin?)t2?h
21y方向：?a0cos?t2?y
2联立求得y??rmgxha0cos?ha0cos?，即物体落到初始位置在地板的投影点后面处。
g?a0sin?g?a0sin?3.7、一单摆摆长为l，悬挂点O'在水平线上作简谐振动：x?asinpt。这里x是悬挂点离开水平线上的固定点O的距离，如图，开始时摆锤铅直下垂，相对于O'的速度为零。证明
ap2pg2(sinpt?sinkt)单摆此后的微小振动规律为??，式中 k?l(k2?p2)kl解：以O'点为极点，竖直向下为极轴，受力分析如图所示。
OxO'&&x??apsinpt 因x?asinpt，所以x?apcospt，&当?角度很小时，有sin???，cos??1?2sin22?2?1??22?1
lr&&?mx?rTrmg&&&&cos??mgsin??ml?由牛顿第二定律，在横向有：?mx
gap2&&&sinpt?0 代入&，sin?，cos?可得：????xll&&?易知?gg??0的通解为：?1?Acos(t??)，式中A，?为积分待定常数
llgap2&&sinpt?0的特解为?2?Beipt的虚部，代入有： 设????llap2ap2giptap2iptsinpt ?Bpe?Be?e?0，解得：B?，故特解为?2?g?p2lg?p2lll2iptgap2&&sinpt?0的通解为： 所以????llgap2???1??2?Acos(t??)?sinpt 2lg?plggap3&???Asin(t??)?cospt 2llg?pl3ap&?0可得：??，A?代入初始条件，t?0时，??0，l?2g?p2l?l gap2lg所以有：??(sinpt?psint) 2g?plgl3.8、一竖直放置的钢丝圆圈，半径为r，其上套有一质量为m的光滑小环。今若钢丝圈以匀加速度a竖直向上运动，求小环相对于钢丝圈的速率u和钢丝圈对小环的作用力大小FN' 已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角???0，小环的相对速率
ru?u0
解：以O点为极点，竖直向下为极轴，建立平面极坐标系。
受力分析如图，则有：
2径向：m(g?a)cos??FN'?mu/r (1)
rFN'mrr?mgrO?ma&横向：m(g?a)sin??mu (2)
初始条件：t?0时，???0，u?u0 (3)
&?m对(2)变形：m(g?a)sin??mu分离变量：(g?a)rsin?d??udu
dud?dud?duudu?m?m?m dtdtd?dtd?rd?121u?(g?a)rcos??C?0，代入(3)有：C??u02?(g?a)rcos?0 22所以u?u0?2r(g?a)(cos?0?cos?)(负根舍去)
2mu02代入(1)有FN'?m(g?a)(3cos??2cos?0)?
r
第三章-非惯性参考系-习题解答
