而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 14.【答案】
，类比着写出，结合
的关系，求得
，两式相减，整理得到
，
【解析】分析：首先根据题中所给的从而确定出数列式求得的值. 详解：根据两式相减得当
时，
，可得
，即，解得
， ，
为等比数列，再令
，之后应用等比数列的求和公
，
所以数列所以
是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
，故答案是
.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令
，求得数列
的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 15. 【答案】16
【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果. 详解：根据题意，没有女生入选有从6名学生中任意选3人有
种选法，
种选法，
种，故答案是16.
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有
点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 16.【答案】
，从而确定出函数的单调区间，
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得
理科数学试题 第11页（共17页）
减区间为，增区间为
代入求得函数的最小值.
，确定出函数的最小值点，从而求得
详解：所以当
时函数单调减，当
时函数单调增，
，
，
时，函数
，
，故答案是
.
取得最小值，
，
从而得到函数的减区间为函数的增区间为所以当此时所以
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
三、解答题
17．【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到角的范围，利用同角三角函数关系式，求得(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得所满足的关系，从而求得结果. 解：（1）在△ABD中，由正弦定理得
由题设知，
BDAB. ?sin?Asin?ADB，根据题设条件，求得
； ，之后在
，结合
中，用余弦定理得到
252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB
由题设知，?ADB?90?， 所以cos?ADB?1?223. ?255（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得
2. 5
理科数学试题 第12页（共17页）
BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22?2?25. 5所以BC?5.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
18．【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又面PEF⊥平面ABFD.
(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得
解：（1）由已知可得，BF?PF，BF?EF，所以BF?平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF?平面ABFD.
，得到结果.
，
平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平
（2）作PH?EF，垂足为H. 由（1）得，PH?平面ABFD.
uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
由（1）可得，DE?PE. 又DP?2，DE?1，所以PE?3. 又PF?1，EF?2，故PE?PF.
可得PH?33，EH?. 22
则H(0,0,0)，P(0,0,uuuruuur33333, ，，)D(?1,?,0)DP?(1,,)HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量.
222223uuuruuurHP?DP3设DP与平面ABFD所成角为?，则 sin??|uuu. ruuur|?4?43|HP||DP|所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3. 4
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.
理科数学试题 第13页（共17页）
19．【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点点A的坐标为
或
，利用两点式求得直线
，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得的方程；
(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x?1.
由已知可得，点A的坐标为(1,所以AM的方程为y??22). )或(1,?2222x?2或y?x?2. 22
（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?2，x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?y1y2. ?x1?2x2?2由y1?kx1?k，y2?kx2?k得
kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.
(x1?2)(x2?2)
x2将y?k(x?1)代入?y2?1得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.
24k22k2?2所以，x1?x2?2. ,x1x2?22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k??0. 22k?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.
20．【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得
利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意
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，之后对其求导，
的条件；
(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关
系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
218解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C220p(1?p). 因此 2p?(1p18?) f?(p)?C20[221p8?(p117?)2]02p2C?p(117?). p(110)令f?(p)?0，得p?0.1. 当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；当p?(0.1,1)时，f?(p)?0.所以f(p)的最大值点为p0?0.1.
B(180,0.1)，X?20?2?25Y，
（2）由（1）知，p?0.1.
（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y即X?40?25Y.
所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验.
点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.
21．【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间； (2)根据
存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定
，令
，得到两个极值点
是方程
的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
1ax2?ax?1解：（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.
xxx2（ⅰ）若a≤2，则f?(x)≤0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.
a?a2?4a?a2?4（ⅱ）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.
22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0. 所以f(x)在(0,)，(,??)单调递当x?(2222a?a2?4a?a2?4,)单调递增. 减，在(22
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1. 由于
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2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析（word版 - 精校版）
