2014届高三数学第二轮复习
第3讲 不等式
一、本章知识结构：
实数的性质
不等式的性质 均值不等式
比较法 综合法 分析法 其它方法 一元一次不等式 一元二次不等式 分式高次不等式 含绝对值不等式 函数性质的讨论 最值的计算与讨论 实际应用问题 不等式的证明 不等式的解法 不等式的应用 二、高考要求
（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。 （3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。
三、热点分析
1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.
2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.
3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.
4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.
不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：
（1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。
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（2）选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。
（3）不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视。 四、典型例题
不等式的解法
【例1】 解不等式：解：原不等式可化为：
a?1?a x?2(a?1)x?(2?a)＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
x?2当a＞1时，原不等式与(x－
a?2a?2a?2)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若a?1a?1a?1a?2
)∪(2，+∞). a?1
＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，
当a＜1时，若a＜0，解集为(
a?2a?2，2)；若0＜a＜1，解集为(2，) a?1a?1综上所述：当a＞1时解集为(－∞，
a?2a?2
)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)； a?1a?1
a?2，2). a?1当a=0时，解集为?；当a＜0时，解集为(
【例2】 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?［1，4］，求实数a的取值
范围.
解：M?［1，4］有n种情况：其一是M=?，此时Δ＜0；其二是M≠?，此时Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=?［1，4］ (2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
??a?3?0
?f(1)?0,且f(4)?0?18?18?7a?0
那么M=［x1，x2］，M?［1，4］?1≤x1＜x2≤4??即?，解得：2＜a＜，
7?1?a?4,且??0?a?0
??a??1或a?2
∴M?［1，4］时，a的取值范围是(－1，
18). 7不等式的证明
【例1】 已知a?2，求证：log?a?1?a?loga?a?1? 解1：log?a?1?a?loga?a?1??1??loga?a?1????loga?a?1??1． ?loga?a?1??loga?a?1?loga?a?1?因为a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，
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loga?a?1??loga?a?1???loga?a?1????loga?a?1??????2???2?log?aa2?14????log2aa422?
?1所以，log?a?1?a?loga?a?1??0，命题得证．
【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+
2511)(b+)≥. ab4证：(分析综合法)：欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0， 即证ab≤
11或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证. 4412?13???1n?2n(n∈N*)
【例3】 证明不等式1?证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+
12?13???1k＜2k，
则1?12?13???1k?1?2k?1k?1?2k(k?1)?1k?1?k?(k?1)?1k?112?13????2k?1,
1n∴当n=k+1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+另从k到k+1时的证明还有下列证法：
＜2n.
?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2k(k?1)?(k?1)?(k?k?1)2?0,?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?又如:?2k?1?2k??2k?1k?1?2k?1.
1k?1?2k?1.?1k?1,
2k?1?k?2k?1?k?1证法二：对任意k∈N*，都有：
?2(k?k?1),k?kk?k?1
111因此1??????2?2(2?1)?2(3?2)???2(n?n?1)?2n.23nk1?2?2
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a?b,c?d，则a?c?b?d（若a?b,c?d，则a?c?b?d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若
a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则
ab； ?）
cdnn3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则a?b或na?nb；
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高三数学(理科)二轮复习-不等式
