1n1解 x??xi?(14.6?15.1?14.9?14.8?15.2?15.1)=14.95，
ni?161n(xi?x)2=0.2062， s0=?ni?1tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.571，
所以 t?(n?1)2s00.2062=2.571×=0.24， n?16?1置信区间为（14.95-0.24,14.95+0.24)，即（14.71,15.19)，置信概率为95%.
σ2的置信区间
我们只考虑μ未知的情形.
(n?1)S21n22
此时由于S=?(Xi?X)是σ的无偏估计，我们考虑?2，由于
n?1i?12
(n?1)S2?所以，对于给定的α，
2~?2(n?1)，
?2?(n?1)S22P???(n?1)???(n?1)??=1-α. 221???2?即
?(n?1)S2??(n?1)S2?2P?2???2?=1-α.
?(n?1)?(n?1)1??????22?所以σ2的置信区间为
?(n?1)S2(n?1)S2??2? （7.13） ,???(n?1)?1??2(n?1)??22?或
?nS2?nS020?2?， ,2???(n?1)?1??(n?1)??22?其中
S02=
1n(Xi?X)2. ?ni?1例7.13 某种钢丝的折断力服从正态分布，今从一批钢丝中任取10根，试验其折断力，
得数据如下：
572 570 578 568 596 576 584 572 580 566
试求方差的置信概率为0.9的置信区间.
1n1解 因为x??xi?(572?570?ni?110s02=
α=0.10,n-1=9，查附表得：
?566)=576.2，
1n2xi?x2=71.56， ?ni?1??2(n?1)??0.052(9)=16.919，
2?1??2(n?1)??0.952(9)=3.325，
2ns0210?71.56?=42.30，
??2(n?1)16.9192ns0210?71.56?=215.22.
?1??2(n?1)3.3252所以，σ2的置信概率为0.9的置信区间为（42.30,215.22).
以上仅介绍了正态总体的均值和方差两个参数的区间估计方法.
在有些问题中并不知道总体X服从什么分布，要对E（X）=μ作区间估计，在这种情况下只要X的方差σ2已知，并且样本容量n很大，由中心极限定理，准正态分布N（0，1），因而μ的置信概率为1-α的近似置信区间为
X??近似地服从标?/n????X?z,X?z????. 22nn??
小 结
参数估计问题分为点估计和区间估计.
设θ是总体X的待估计参数.用统计量??=??（X1，X2，…，Xn）来估计θ称??是θ的估计量，点估计只给出未知参数θ的单一估计.
本章介绍了两种点估计的方法：矩估计法和极大似然估计法.
矩法的做法：设总体X~F（X；θ1，θ2,…,θl)其中θk(1≤k≤l)为未知参数. （1） 求总体X的k(1≤k≤l)阶矩E（xk）； （2） 求方程组
??1(?1,?2,,?l)?E(X)?A1,? ???(?,?,,?)?E(Xl)?A.ll?l12
?,??,…, ??，那么??=?? (X1,X2,…,Xn)(1≤k≤l)为k的矩估计量. 的一组解?12lkk?（x1，x2,…,xn）为θk的矩估计值. ?k极大似然估计法的思想是若已观察到样本值为（x1，x2,…,xn），而取到这一样本值的概
率为P=P(θ1,θ2,…,θl),我们就取θk(1≤k≤l)的估计值使概率P达到最大，其一般做法如下： （1） 写出似然函数L=L（θ1,θ2,…,θl） 当总体X是离散型随机变量时,
L=
当总体X是连续型随机变量时
L=
(2) 对L取对数
lnL=
(3) 求出方程组
?P(x;?,?,i12i?1n,?l),
?f(x;?,?,i12i?1n,?l),
?lnf(x;?,?,i12i?1n,?l),
?lnL=0, k=1,2,…,l. ??k?=?? (x1,…,xn) (1≤k≤l)即k为未知参数θ的极大似然估计值，?=(X1,X2,…,Xn)的一组解??kkk为θk的极大似然估计量.在统计问题中往往先使用极大似然估计法，在此法使用不方便时，
再用矩估计法进行未知参数的点估计.
对于一个未知参数可以提出不同的估计量，那么就需要给出评定估计量好坏的标准.本章介绍了三个标准：无偏性、有效性、一致性.重点是无偏性.
点估计不能反映估计的精度，我们就引人区间估计.
?,??均是样本X1，X2，…，Xn的统计量，若对给定值α(0<设θ是总体X的未知参数，?12?<θ
参数的区间估计中一个典型、重要的问题是正态总体X（X~N（μ,σ2））中μ或σ2的区间估计，其置信区间如表7-3所示.
表7-3 正态总体的均值、方差的置信度为（1-α）的置信区间 待估参数 μ 其他参数 σ2已知 Z=统计量 置信区间 X??~N(0,1) ?/n???X?Z??? 2n??
μ σ2未知 T=X??~t(n-1) S/n(n?1)S??X?t(n?1)??? 2n???(n?1)S2(n?1)S2??2? ,2?X?(n?1)X1??(n?1)??22?σ2 μ未知 ?2??2S2~X2(n-1) 区间估计给出了估计的精度与可靠度（1-α），其精度与可靠度是相互制约的即精度越
高（置信区间长度越小），可靠度越低；反之亦然.在实际中，应先固定可靠度，再估计精度. 重要术语及主题
矩估计量 极大似然估计量
估计量的评选标准：无偏性、有效性、一致性， 参数θ的置信度为（1-α）的置信区间, 单个正态总体均值、方差的置信区间.
习 题 七
1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.
2.设总体X的密度函数
?2?(??x),0?x??,f（x,θ）=??2
?其他.?0,X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.
3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.
??e??x,x?0,（1） f（x，θ）=?
0,x?0.???x??1,0?x?1,（2） f（x，θ）=?
其他.?0,4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下： 序号 收益率 1 2 3 -0.12 4 -0.09 5 -0.13 6 -0.3 7 0.1 8 -0.09 9 -0.1 10 -0.11 0.01 -0.11 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.
? =k6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ，?2
2?(Xi?1n?12,?X)i?1i
?为σ2的无偏估计. 问k为何值时?7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本
2
?1??211311?2?X1?X2;??3?X1?X2; X1?X2;?334422?1,??2,??3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 试证?8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，
测得其长度（单位mm）如下：
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间.
9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？ 10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：
64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 11.设总体
?(??1)x?,0?x?1;其中???1 X~f(x)=?其他.?0,X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. （1997年研考）
12.设总体
?6x?3(??x),0?x??;X~f(x)= ??
?其他.?0,X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本
（1） 求θ的矩估计量；
?). (1999研考) （2） 求D(?13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为
?2e?2(x??),x?0;f(x,θ)= ?
x??.?0,其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估
计值. （2000研考） 14.设总体X的概率分布为 X P 0 1 2 3 θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ 其中θ(0<θ<12)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. （2002研考）
概率论与数理统计第七章 参数估计
