f（x）=
所以似然函数为：
L（μ，σ2）=
1e2π??(x??)22?2，
?i?1n?(xi??)2??1??1n12?exp???exp?(x??)????? i22?2?2?2π?i?1?????2π??2
nnn1n22lnL（μ，σ）=?ln2π?ln??. (x??)?i2222?i?1故似然方程组为：
??lnL(?,?2)1n?2?(xi??)?0,?????i?1 ?2n?lnL(?,?)n1???2?(xi??)2?0.24????2?2?i?1?解以上方程组得:
?1n???xi?x,??ni?1 ?nn11??2??(xi??)2??(xi?x)2??B2.?nni?1i?1?所以 ???X,?? 2???L?B2.例7.8 设总体X服从［0,θ］上的均匀分布,X1,X2,…,Xn是来自X的样本，求θ的矩法
估计和极大似然估计.
解 因为E（X）=θ/2，令X=E（X），得
??2X. ?矩?1?,0?x??,又 f（x）=??
?其他.?0,所以L（θ）=
1，0≤xi≤θ. n?1?i?n??max?X?. 要L（θ）最大，θ必须尽可能小，又θ≥xi，i=1，2，…,n，所以?Li
第二节 估计量的评价标准
??2X，??max?X? 设总体X服从［0，θ］上的均匀分布，由上节例7可知?矩Li1?i?n都是θ的估计，这两个估计哪一个好？下面我们首先讨论衡量估计量好坏的标准问题.
1.无偏性
定义7.2 若估计量（X1，X2，…，Xn）的数学期望等于未知参数θ，即：
?)??， （7.6） E(?则称??为θ的无偏估计量（Non-deviation estimator）.
估计量??的值不一定就是θ的真值，因为它是一个随机变量，若??是θ的无偏估计，则尽管??的值随样本值的不同而变化，但平均来说它会等于θ的真值.
1n例7.9 设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，E（X）=μ，则样本平均数X??Xini?1是μ的无偏估计量.
证 因为E（X）=μ，所以E（Xi）=μ，i=1，2，…，n，于是
?1n?1nE(X)?E??Xi???E(Xi)=μ.
?ni?1?ni?1所以X是μ的无偏估计量.
例7.10 设有总体X，E（X）=μ，D（X）=σ2，（X1，X2，…，Xn）为从该总体中抽
1n得的一个样本，样本方差S及二阶样本中心矩B2=?(Xi?X)是否为总体方差σ2的无
ni?12
偏估计？
解 因为E（S2）=σ2，所以S2是σ2的一个无偏估计，这也是我们称S2为样本方差的理由.由于
n?12S， nn?1n?12E(S2)??, 那么 E（B2）=nnB2=
所以B2不是σ2的一个无偏估计.
还需指出：一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数相应函数的无偏估计量.例如，当X~N（μ，σ2）时，X是μ的无偏估计量，但X不是μ2的无偏估计量，事实上：
2E(X)?D(X)???E(X)???22?2n??2??2.
2.有效性
?与??，即E（??）=E（??）=θ，那么在??，对于未知参数θ，如果有两个无偏估计量?12121?中谁更好呢？此时我们自然希望对θ的平均偏差E（??-θ）2越小越好，即一个好的估计?2量应该有尽可能小的方差，这就是有效性.
?和??都是未知参数θ的无偏估计，若对任意的参数θ，有 定义7.3 设?12?）≤D（??）D（?12， （7.7）
?比??有效. 则称?12?比??有效，则虽然??还不是θ的真值，但??在θ附近取值的密集程度较??高，如果?12112?估计θ精度要高些. 即用?11n例如，对正态总体N（μ，σ），X??Xi，Xi和X都是E（X）=μ的无偏估计
ni?12
量，但
?2D（X）=≤D（Xi）=σ2，
n故X较个别观测值Xi有效.实际当中也是如此，比如要估计某个班学生的平均成绩，可用两种方法进行估计，一种是在该班任意抽一个同学，就以该同学的成绩作为全班的平均成绩；另一种方法是在该班抽取n位同学，以这n个同学的平均成绩作为全班的平均成绩，显然第二种方法比第一种方法好.
3.一致性
无偏性、有效性都是在样本容量n一定的条件下进行讨论的，然而（X1，X2，…，Xn）不仅与样本值有关，而且与样本容量n有关，不妨记为n，很自然，我们希望n越大时，n对θ的估计应该越精确.
定义7.4 如果n依概率收敛于θ，即?ε＞0，有
??????1,，limP?（7.8） nn?????是θ的一致估计量（Uniform estimator）. 则称?n由辛钦大数定律可以证明：样本平均数X是总体均值μ的一致估计量，样本的方差及二阶样本中心矩B2都是总体方差σ2的一致估计量.
S2
第三节 区间估计
1.区间估计的概念
上节我们介绍了参数的点估计，假设总体X~N（μ，σ2），对于样本（X1，X2，…，Xn），
??X是参数μ的矩法估计和极大似然估计，并且满足无偏性和一致性.但实际上X=μ的??=μ的可能性为0，为此，可能性有多大呢？由于X是一连续型随机变量，P{X=μ}=0，即?我们希望给出μ的一个大致范围，使得μ有较高的概率在这个范围内，这就是区间估计问题.
?（X1，X2,…,Xn）及?? (X1,X2,…,Xn)是两个统计量，如果对于给定的概定义7.5 设?12率1-α（0<α<1），有：
?＜θ＜??}=1-α, （7.9） P{?12?，??）为参数θ的置信区间（Confidence interval）?称为置信下限，??则称随机区间（?，?1212称为置信上限，1-α叫置信概率或置信度(Confidence level).
?，??）的大小依赖于随机抽取的样本观测值，它可能包含θ，定义中的随机区间（?12?，??）以1-α的概率包含θ.例如，若取α=0.05，也可能不包含θ，（7.9）式的意义是指（?12?，??）的意义是指：在100次重复抽样中那么置信概率为1-α=0.95，这时，置信区间（?12所得到的100个置信区间中，大约有95个区间包含参数真值θ，有5个区间不包含真值θ，
?，??）包含参数θ真值的频率近似为0.95. 亦即随机区间（?12例7.11 设X~N（μ，σ2），μ未知，σ2已知，样本X1，X2，…，Xn来自总体X，求μ的置信区间，置信概率为1-α.
解 因为X1，X2，…,Xn为来自X的样本，而X~N(μ,σ2)，所以u=X?? ~N（0，1），
?/n?X???P?z对于给定的α，查附录中表2可得上分位点z?，使得???=1-α,即 22?/n??????P?X?z????X?z??=1-α. 22nn??所以μ的置信概率为1-α的置信区间为
????X?z,X?z????. （7.10） 22nn??由（7.10）式可知置信区间的长度为2z??n，若n越大，置信区间就越短；若置信概率
2
1-α越大，α就越小，z?就越大，从而置信区间就越长.
22.正态总体参数的区间估计
由于在大多数情况下，我们所遇到的总体是服从正态分布的（有的是近似正态分布），故我们现在来重点讨论正态总体参数的区间估计问题.
在下面的讨论中，总假定X~N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为其样本. （1） 对μ的估计 分两种情况进行讨论. （a） σ2已知
此时就是例7.11的情形，结论是：μ的置信区间为
????X?z,X?z????， 22nn??置信概率为1-α.
（b） σ2未知
当σ2未知时，不能使用（7.10）式作为置信区间，因为（7.10）式中区间的端点与σ
1nX??22
有关，考虑到S=是σ的无偏估计，将中的σ换成S得 (X?X)?in?1i?1?/n2
T=X?? ~t（n-1）.
S/n对于给定的α，查附录中t分布表4可得上分位点tσ/2（n-1），使得
?X???P??t?(n?1)?=1-α，
2?S/n?即
SS??P?X?t?(n?1)???X?t?(n?1)?=1-α.
n2n2??所以μ的置信概率为1-α的置信区间为
SS??X?t(n?1),X?t(n?1)????. （7.11） 22nn??1nS0S(Xi?X)2，所以μ的置信区间也可写成 ?由于，S0=?ni?1nn?1S0S0??X?t(n?1),X?t(n?1)????.（7.12） 22n?1n?1??例7.12 某车间生产滚珠,已知其直径X~N(μ,σ2)，现从某一天生产的产品中随机地抽
出6个，测得直径如下（单位：毫米）
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1
试求滚珠直径X的均值μ的置信概率为95%的置信区间.
概率论与数理统计第七章 参数估计
