空间几何体的表面积和体积
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能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积； 用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．
一、展开图定义
一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图． 二、特殊几何体的定义
1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． 2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 正棱锥的性质： （1）正棱锥的侧棱相等； （2）侧面是全等的等腰三角形； （3）侧棱、高、底面构成直角三角形．
4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台． 正棱台的性质：
（1）正棱棱台的侧棱长相等 （2）侧面是全等的等腰三角形；
（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形． 三、侧面积与表面积公式
1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式
(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．
(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式： S正棱锥侧＝
= .即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的
侧面积公式：S正棱台侧＝ = .
(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表＝S底＋S侧. 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式 (1)S圆柱侧＝ (r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝ (r为底面圆半径，l为母线长)．
(3)S圆台侧＝ (R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)．
(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表＝S底＋S侧. (5) 若圆锥底面的半径为r，侧面母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为?则， ??r360 l3.由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝ .即球面面积等于它的大圆面积的4倍． 四、体积 1.长方体的体积：
长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝abc 2．棱柱和圆柱的体积：
(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh. (2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝ . 3．棱锥和圆锥的体积：
(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝ Sh. (2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝ .
4．棱台和圆台的体积：
(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝ .
(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝ .
5．球的体积：
如果球的半径为R，那么球的体积V球＝ .
6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
类型一 表面积
例1： 已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是( )
5
A．2 B.
2
7
C．3 D.
2
解析：如图，设O1、O分别是正四棱台上、下底面的中心，则OO1是正棱台ABCD－A1B1C1D1的高，E1、E分别是A1D1、AD的中点，连接OE、O1E1，作E1H∥OO1，则E1H＝O1O，由题意
?3＋6?EE15得，×4＝9＋36，∴EE1＝.
22
259222
在Rt△EHE1中，E1H＝EE1－EH＝－＝4，
44
∴E1H＝2，∴O1O＝2. 答案：A
练习1：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32 C．48 答案：B
B．16＋162 D．16＋322
练习2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是( ) A．3π B．33π C．6π D．9π 答案：A
练习3：球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )
ππA. B. 34πC. D．π 2
答案：C
例2： 用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
8
A．8 B. π
42C. D. ππ
448解析：设围成圆柱的底面半径为r，则2πr＝4，∴2r＝，∴圆柱的轴截面面积为S＝×2＝.
πππ2
或2πr＝2，∴2r＝，
π∴圆柱的轴截面面积为S＝
28×4＝. ππ
答案：B
练习1： 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90cm2 B．129cm2
C．132cm2 D．138cm2 答案：D
练习2：已知圆锥的表面积为12πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )
A.3cm
B．2cm
C．23cm D．4cm 答案：B
练习3：某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90cm2 B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2 答案：D
练习4：长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________． 答案：50π 类型二 体积
例3：正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为( )
11A. B. 4239C. D. 44
解析：如图，作PO⊥底面ABC，
∵正三角形ABC的边长为3， ∴AO＝
3
×3＝1， 3
2
2
∴PO＝PA－AO＝4－1＝3， 1332
∴VP－ABC＝××(3)×3＝.
344
答案：C
练习1：已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积． 答案：连接AC、BD，AC与BD的交点为O，取BC的中点E，连接OE、
PE、PO，则PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高．
由已知得OE＝3，OA＝32， ∴PO＝PA－OA＝25－18＝7，
2
2
PE＝PO2＋OE2＝7＋9＝4.
11
∴四棱锥P－ABCD的体积V＝××6×6×7
32＝67.
1
四棱锥P－ABCD的侧面积S＝×6×4×4＝48.
2
练习2：某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A．3 B．2
C.3 D．1
11
答案：D.由三视图可知，该几何体的体积V＝Sh＝×3×3＝1.由三视图找出垂直关系是关键．
33例4：将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，
所得柱体的体积为V2，则有( )
A．V1>V2 B．V1 ∴V1－V2＝abπ(b－a)，∵a>b， ∴V1－V2<0，∴V1 练习1：如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) A．63 B．93 C．123 D．183 答案：由三视图知，该几何体为平行六面体， 由图知高h＝2－1＝3. 底面积：S＝3×3＝9， 所以其体积V＝93. 1 练习2：一个圆柱的高缩小为原来的，底面半n 径扩大为原来的n倍，则所 2 2 得的圆柱的体积为原来的________． 答案：n倍． 例5：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 解析：由、PB、PC为棱构造正方体，进而求出球的直径，从而得到球的体积． 答案:∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a， ∴以PA、PB、PC为相邻的三条棱可以构造正方体． ∵P、A、B、C四点是球面上的四个点， ∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径， ∴2R＝3a，∴R＝ 3a， 2 44?3?3333 ∴V＝πR＝π?a?＝πa. 33?2?2 练习1：体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________． 答案：设正方体棱长为a，球半径为r. ∵a＝8，∴a＝2，又∵4πr＝6a，∴r＝4?∴V球＝π?3? 6?386π?＝π. π? 3 2 2 6. π
人教版高中数学必修二第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积和体积(教师版)
