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第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）
§ 1中值定理 （ 3时 ）
一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发：
x?x0limf(x)?f(x0)x?x0=
f?(x0).若能去掉导数定义中的极限符号,即
f(x)?f(x0)?f?(x0),则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑?x?x0曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线,
找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.
二 微分中值定理:
1. Rolle中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.
2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.
Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.
系1 函数f(x)在区间I上可导且f?(x)?0, ? f(x)为I上的常值函数. (证)
系2 函数f(x)和g(x)在区间I上可导且f?(x)?g?(x), ? f(x)?g(x)?c,x?I.
系3 设函数f(x)在点x0的某右邻域??(x0)上连续,在??(x0)内可导.若limf?(x)?f?(x0?0)存在 , 则右导数f??(x0)也存在, 且有
?x?x0?精品文档
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f??(x0)?f?(x0?0).(证)
但是, 数
f?(x0?0)不存在时, 却未必有f??(x0)不存在. 例如对函
虽然
f?(0?0)1?2?xsin, x?0, f(x)??x? x?0.?0, f(x)不存在,但却在点x?0可导(可用定义求得
?(x0)内连续,
f?(0)?0).
Th3 (导数极限定理) 设函数f(x)在点x0的某邻域 在?(x0)内可导. 若极限xlimf?(x)存在, 则?x0?f?(x0)也存在, 且
f?(x0)?limf?(x).
x?x0( 证 )
由该定理可见, 若函数f(x)在区间I上可导,则区间I上的每
一点,要么是导函数f?(x)的连续点,要么是f?(x)的第二类间断点.这就是说,当函数f(x)在区间I上点点可导时, 导函数f?(x)在区间I上不可能有第二类间断点. 3. Cauchy中值定理:
Th 4 设函数f和g在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, f?和g?在(a,b)内不同时为零, 又g(a)??g(b). 则在(a,b)内至少存在一点?, 使得
f?(?)f(b)?f(a)?. g?(?)g(b)?g(a)f(b)?f(a)g(x).
g(b)?g(a)证 分析引出辅助函数
F(x)?f(x)? 验证F(x)在[a,b]上满足Rolle定理的条件,
? ???(a,b), ? f(b)?f(a)F?(?)?f?(?)?g?(?)?0.
g(b)?g(a)必有g?(?)??0, 因为否则就有f?(?)?0.这与条件“f?和g?在(a,b)内不同时为零” 矛盾. ? ??
Cauchy中值定理的几何意义.
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Ex [1]P163 1—4；
三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:
例1 设函数f在区间[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 则???(a,b), 使得
证 在Cauchy
例2 设函数f在区间[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且有f(a)?f(b)?0.试证明: ???(a,b), ? f(?)?f?(?)?0.
2. 证明恒等式: 原理. 例3 证明: 对?x?R, 有 例4 设函数
fb?f?(?). a中值定理中取g(x)?lnx. f(b)?f(a)??lnarctgx?arcctgx??2. 又
g?0.f?g?f和g可导且
f(x)?0, 则
gg(x)?cf(x).(证明 ( )??0. )
f例5 设对? x , h ?R,有 |f(x?h)?f(x)| ? Mh2,其中M是正常数.则函数f(x)是常值函数. (证明 f??0 ).
3. 证明不等式: 原理. 例6 证明不等式: h?0时, 例7 证明不等式:
h?arctgh?h. 21?h111对?n，有?ln( 1? )?.
n?1nn 4. 证明方程根的存在性:
例8 证明方程 sinx?xcosx?0在(0,?)内有实根.
例9 证明方程 4ax3?3bx2?2cx?a?b?c在( 0 , 1 )内有实根.
四 单调函数 （结合几何直观建立） 1 可导函数单调的充要条件
Th 5设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)↗(或↘) ?在(a,b)内
f?(x)?0 ( 或?0 ).
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(整理)《数学分析》第六章_微分中值定理及其应用.
