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（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.
（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏. 总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好. ［知识拓展］
【例2】 关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞－ax2-bx+c＞0的解集. 师
1}，求关于x的不等式2b5cbc??，?1，从而ax2-bx+c＞0可以变形为x2?x?＜0，即a2aaa511x2-x+1＜0.∴＜x＜2.∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}. 222由题设a＜0且?引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R，求a的取值范围. 师 原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0. 生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须??a＜0,
??＜0,?a＜01??1?a＜?
3a＞1或a＜??3??a＜0即??2?(a?1)?4a(a?1)＜0∴a的取值范围是a∈(-∞,??a＜0??2?3a?2a?1＞01). 3师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）
师 变题：若函数f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为R，求实数k的取值范围. 显然k=0时满足.而k＜0时不满足?∴k的取值范围是 [0,1]. 练习：不等式
ax2+bx+2＞0
?k＞0???36k?4k(k?8)?22?0＜k?1.
?a??12,11的解集为{x|-＜x＜}，求a、b.(?)
32b??2?［教师精讲］
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c＞0为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏. ［合作探究］
2x2?2kx?k＜1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围. 【例3】 若不等式
4x2?6x?3.
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2x2?2kx?k2x2?2kx?k2x2?2(k?3)x?3?k＜1??1＜0?＞0? 生 ∵
4x2?6x?34x2?6x?34x2?6x?32x2-2(k-3)x+3-k＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式
2x2-2(k-3)x+3-k＞0对x取任何实数均成立.
∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0?k 2-4k+3＜0?1＜k＜3.∴k的取值范围是（1，3）.
师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分. 【例4】 当m取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x2.
①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：
???0??x1?x2＞0??xx＞0?12??(m?2)2?16(m?5)?0??m?2＞0???4??m?5＞0??4?m2?20m?84?0???m＜2?m＞5??m?16或m?14??m∈?. ?m＜2?m＞5?∴此时m的取值范围是?，即原方程不可能有两个正根.
②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：
?(m?2)2?16(m?5)＞0??＞0???m＜5. ??m?5xx＜0＜0?12??4∴此时m的取值范围是(-∞,5).
③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：
??(m?2)?16(m?5)＞0??＞0???m?2＞0?m＜2.∴此时m的取值范围是(-∞,2). ?x1?x2＞0???4?xx＜0??12?m?5＜0??4④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
??m2?20m?84?0???0???2m?3＞0??(x1?1)(x2?1)＞0???4?(x?1)?(x?1)＞02?1?m?6＜0??4.
m∈?.
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∴此时m的取值范围是?，即原方程不可能两根都大于1. 师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理. 练习：
1.关于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是……
（ ）
1,+∞) 41C. [?，+∞）
4A. (?提示：由m≠0且Δ＞0，得m＜?答案：D
B.(-∞, ?D.( ?1) 41,0)∪(0,+∞) 41，∴选D. 411＜x＜}，则a、b的值分别是__________. 322.若不等式ax 2+5x+b＞0的解集为{x|
?a＜0??＞0??提示：由?x?x?1?1?1232??11xx???1232??a＜0??＞0??55?????a6?b1???a6?a??6, ??b??1.答案：-6，-1
3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.
??(k?2)]2?16?0［???0???提示：由?x1?x2＜0??k?2＜0?xx＞0?4＞0?12??k??6或k?2? k≤-6. ??k＜?2师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围. 师 解：要原方程有两个负实根，必须
?k?1?0?2?2(k?1)?0?k?k?2?0???0??4k??＜0???x?x＜0?12?2(k?1)??3k?2?x1x2＞0＞0??2(k?1)k＞2[]3或k＜-1
?k??1??2?k?1?2??-2＜k＜-1或＜k＜1. ?k＞o或k＜?13??k＞2或k＜?1?3?∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或
2＜k＜1}. 31}； 2练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围. 生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和{x|x＜若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，
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?a2?1＜0必须????＜02?3?a?1＜0-＜a＜1. ??225??(a?1)?4(a?1)(?1)＜0∴实数a的取值范围是(?33,1)∪{1}=(?,1］. 55［方法引导］
讲练结合法
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神. 课堂小结
1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.
2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步： （1）确定讨论的对象及其范围；
（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类； （3）逐类讨论，分级进行； （4）归纳整合，作出结论.
3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.
4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风. 布置作业
（1）已知不等式x2+5x+m＞0的解集为{x|x＜-7或x＞2}，求实数m的值.(答案：m=-14) （2）已知关于x的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0}) (3)若y=ax 2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a,b,c的值（答案：.a=2,b=4,c=-6） (4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围. 解：要使原方程有两个负实根，必须
[来源:www.shulihua.net]?k?1?0?22k?1)?0?（k?k?2?0????0??4k?＜0?????x1?x2＜0?2(k?1)??3k?2?x1x2＞0＞0?2(k?1)??k??1??2?k?1?2??k＞0或k＜?1?-2＜k＜-1或＜k＜1.
3??k＞2或k＜?1?3?∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或
2＜k＜1}.3板书设计
一元二次不等式的解法的应用（二） 例3 .
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例1、2 例4
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人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法教案(4)
