高考数学《直线和圆》专题学案：直线与圆、圆与圆的位置关系

由天下分享时间：2024/8/28 17:27:42 加入收藏我要投稿点赞

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第6课时直线与圆、圆与圆的位置关系

基础过关 1．直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切?d＝r?△＝0 相交? ? 相离? ? 2．圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离?d > R＋r 外切? 相交? 内切? 内含? 3. 圆的切线方程

① 圆x2＋y2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l: . ② 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l : . ③ 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点p(x0, y0)处的切线方程为 . 典型例题

例1. 过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线． ⑴ 求过点P的圆的切线方程．

⑵ 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4) 即kx－y+2－4k＝0 ① 则d＝

2?4k1?k2?4k1?k22y P1 O P(4，2)

x P2

∴

＝2 解得k＝1或k＝

17∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0

(2) 设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２

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因为点(4，2)在l1和l2上．则有4 x1＋2y1＝2 4x2＋2y2＝2

这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x＋y－1＝0即为所求

变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C：x2?y2?kx?2y?k2?0，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( ) A.k∈R

Ｂ.k＜

233 Ｃ.?23?k?03 D.?2323 ?k?33（2）设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是（）

A．（0，2 －1） B．（0，1] C．（0，2－2 ] D．（0，2 ] （3）若实数x、y满足等式(x-2)＋ｙ＝３，那么

２

y的最大值为( ) xＤ.3

12 Ｂ.

33 Ｃ. 323222（4）过点M(?3,?)且被圆x?y?25截得弦长为8的直线的方程为．（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x?y?4x?3?0和x?y?4y?3?0的交点的圆的方程是 . 解：（1）D．提示：P在圆外．（2）C．提示：两圆内切或内含．（3）D．提示：从纯代数角度看，设t=得t的范围。从数形结合角度看，

2222y,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解xy是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界． x（4）3x?4y?15?0或x?3?0．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．

（5）x?y?6x?2y?3?0.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得．

例2. 求经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程．解：圆C的方程可化为(x＋1) 2＋(y－3)2＝5 ∴圆心C(－1，3)，直线BC的方程为： x＋2y－5＝0

5222

12①

又线段AB的中点D(，)，kAB＝－1

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∴线段AB的垂直平分线方程为： y－＝x－即x－y－2＝0 ② 联立①②解得x＝3，y＝1

∴所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|＝5 ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5

变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程．解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ∵圆与坐标轴相切， ∴a=±b,r=｜a｜

又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上. ∴5a-3b=8,