一 绪论
1研究背景及意义
留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1 ] .
1825 年,柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2 ] . 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3],
若函数f(z)在D（a，r）\\｛a｝上全纯，其中r＞0.a为f（z）的孤立奇点，f（z）在a的留数定义为Res（f，a）=
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.
二 留数定理 2.1 留数的定义
如果函数f（z）在点a的邻域K：|z-a|＜R内解析，围线C全含于K（包围a或不包围a），则
但如果a是f（z）的孤立奇点，即f（z）在点a的去心邻域K-｛a｝：0<|z-a| 定义 如果函数f（z）以a为孤立奇点，即f（z）在K-｛a｝：0<|z-a| 称为f（z）在点a处的留数或残数（residue），记作或简记为Resf（a）或Res（f，a）。 显然，只要2.2 Cauchy 留数定理 利用Cauchy 积分定理，可以推出下面关于围线积分的 Cauchy 留数定理 设函数f（z）在围线或复围线C所围成的区域D中有孤立奇点a1、a2、……、an，，此外f（z）在上解析，则有 ，上述积分的数值与 的大小无关． f（z）， ：|z-a|= . 利用Cauchy 留数定理，只要算出各孤立奇点处的留数，即可得出围线积分，所以关键在于计算留数． 2.3留数的算法 设a为f(z)的n阶极点,f(z)= ,其中 在点a解析， 则 证： 推论 1 设a为f（z）的一阶极点 则. 推论 2 设a为f（z）的一阶极点 , . 三 留数定理的应用 3.1用留数定理计算实积分 则 A.计算这里 π]上连续.若命z= , 例 1 计算积分 I= 解 命z=p 这样就有 I= ，当 （0p1） 表,则 , 型积分 并且在[0,2 。 ，且在圆|z| ，只以z=p为一阶极点，在|z| f（z）=所以，由留数定理得 B.计算 型积分 . 上无奇点， 引理 1 设f（z）沿圆弧充分大）上连续，且于 （ 定理 2 设f（z）=P（z）=与Q（z）= ++ ） . （，R 为有理分式，其中 ) ) +……+(+……+( 为互质多项式，且符合要求：（1）n-m2；（2）在实轴上Q(z)0，于是有 C.计算 型积分 引理 (若尔当引理) 设函数g(z)沿半圆周 (0 在 上一致成立。则 )上连续,且 =0（m0）.
留数定理在定积分当中的应用
