北京力迈外国语学校数学旋转几何综合达标检测(Word版 含解
析)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.如图1,在Rt△ABC中,?A?90?,AB?AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD?AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是_________,位置关系是_________;
(2)探究证明:把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,
CE,判断PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD?4,AB?10,请直接写出
PMN面积的最大值.
【答案】(1)PM?PN,PM?PN;(2)等腰直角三角形,见解析;(3)【解析】 【分析】
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(1)由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半,又△ABC为等腰直角三角形,AD=AE,所以得PN=PM,且互相垂直;
(2)由旋转可推出?BAD≌?CAE,再利用PM与PN皆为中位线,得到PM=PN,再利用角度间关系推导出垂直即可;
(3)找到面积最大的位置作出图形,由(2)可知PM=PM,且PM⊥PN,利用三角形面积公式求解即可. 【详解】
(1)PM?PN,PM?PN;
已知点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,根据三角形的中位线定理可得
PM?11EC,PN?BD,PM//EC,PN//BD 22根据平行线性质可得?DPM??DCE,?NPD??ADC 在Rt?ABC中,?A?90?,AB?AC,AD?AE 可得BD?EC,?DCE??ADC?90?
即得PM?PN,PM?PN 故答案为:PM?PN;PM?PN. (2)等腰直角三角形,理由如下: 由旋转可得?BAD??CAE, 又AB?AC,AD?AE ∴?BAD≌?CAE
∴BD?CE,?ABD??ACE, ∵点M,P分别为DE,DC的中点 ∴PM是?DCE的中位线 ∴PM?1CE,且PM//CE, 21BD,且PN//BD 2同理可证PN?∴PM?PN,?MPD??ECD,?PNC??DBC, ∴?MPD??ECD??ACD??ACE??ACD??ABD,
?DPN??PNC??PCN??DBC??PCN,
∴
?MPN??MPD??DPN??ACD??ABD??DBC??PCN??ABC??ACB?90?,
即?PMN为等腰直角三角形.
(3)把?ADE绕点A旋转的如图的位置,
此时PN?11(AD?AB)?7,PM?(AE?AC)?7 22149?7?7?. 22且PN、PM的值最长,由(2)可知PM?PN,PM?PN 所以?PMN面积最大值为【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识,解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系.
2.已知:如图①,在矩形ABCD中,AB?3,AD?4,AE?BD,垂足是E.点F是点
E关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AF和BE的长;
(2)若将ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值. (3)如图②,将ABF绕点B顺时针旋转一个角a(0??a?180?),记旋转中ABF为
A'BF',在旋转过程中,设A'F'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的
长;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)AF?129916,BF?;(2)m?或m?;(3)存在4组符合条件的点
555525910?5或或58P、点Q,使DPQ为等腰三角形; DQ的长度分别为2或
310. 5【解析】 【分析】 5?(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解;
(2)依题意画出图形,如图①-1所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m的值;
(3)在旋转过程中,等腰△DPQ有4种情形,分别画出图形,对于各种情形分别进行计算即可. 【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°,
在Rt△ABD中,AB=3,AD=4, 由勾股定理得:BD=∵S△ABD?∴AE=
AB2?AD2?32?42?5,
11BD?AE=AB?AD, 22AB?AD3?412??, BD55∵点F是点E关于AB的对称点,
∴AF=AE?12,BF=BE, 5∵AE⊥BD, ∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,AB=3,AE?12, 529?12?由勾股定理得:BE?AB2?AE2?32????; 5?5?(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如图①-1所示:
由对称点性质可知,∠1=∠2.BF=BE?9, 59, 5由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′?①当点F′落在AB上时, ∵AB∥A′B′, ∴∠3=∠4,
根据平移的性质知:∠1=∠4, ∴∠3=∠2, ∴BB′=B′F′?99,即m?; 55②当点F′落在AD上时, ∵AB∥A′B′,AB⊥AD, ∴∠6=∠2,A′B′⊥AD, ∵∠1=∠2,∠5=∠1, ∴∠5=∠6, 又知A′B′⊥AD, ∴△B′F′D为等腰三角形, ∴B′D=B′F′?9, 5
∴BB′=BD-B′D=5-
16916?,即m?; 555(3)存在.理由如下: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°, ∵AE⊥BD, ∴∠AEB=90°,
∠2+∠ABD=90°,∠BAE+∠ABD=90°, ∴∠2=∠BAE,
∵点F是点E关于AB的对称点, ∴∠1=∠BAE, ∴∠1=∠2,
在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形: ①如图③-1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,
则∠Q=∠DPQ,
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q, ∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2, ∴∠3=∠Q, ∴A′Q=A′B=3, ∴F′Q=F′A′+A′Q=
1227?3?, 552222910?9??27?在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=BF??F?Q?????, ??5?5??5?∴DQ=BQ-BD=910?5; 5②如图③-2所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,