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第二十六章、反比例函数
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
（ ）定义：形如
1
y＝
非
k
x(k≠ 0) 的函数称为反比例函数，
k 叫做比例系数，自变量的取值范围是
1. 反 比例 函数的
概念
零的一切实数．
2 种基本形式：
（ 2）形式：反比例函数有以下
① y＝ ；② y=kx-1; ③xy=k.( 其中 k 为常数，且 k≠ 0) x
k
例：函数 y=3x
m+1
，当 m= － 2 时，则该函数是反比例函数．
k 的符号
图象 经过象限
y 随 x 变化的情况
k>0
图象经过第一、
三象限
（ x、y 同号 ）
每个象限内，函数 小 .
y 的值随 x 的增大而减
2. 反 比例 函数的
图象和性质
k<0
图象经过第二、
四象限
（ x、y 异号）
每个象限内， 函数 y 的值随 x 的增大而增
大 .
3.
（ 1 ）由两条曲线组成，叫做双曲线；
反 比例 函数的
（ 2 ）图象的两个分支都无限接近 x 轴和 y 轴，但都不会与
x 轴和 y 轴相交；
2 条对称轴分别是平面直角
图象特征
（ 3 ）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，
坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
4.
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数 k 即可 .例：已
待定系数法
知反比例函数图象过点（－ 3，－ 1），则它的解析式是
y=3/x
知识点二
：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
（ ）意义：从反比例函数
1
y
＝
k
x (k≠ 0)图象上任意一点向
x 轴和 y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围
成的矩形面积为
（ 2）常见的面积类型：
|k|, 以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为
1/2|k|.
5. 系数 k 的几何意
义
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失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则
k＜ 0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为
3，则该反比例函数解析式为：
3
3
y
y
x 或
x
（ 1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（
a,b ），则根据中心对称性，可得另一个
交点坐标为（ -a,-b ） .【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解
.
（ 2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求
解
（ 3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，
6. 与 一次 函数的
分 k＞ 0 和 k ＜ 0 两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可
.也可逐一选项判断、排除
.
（ 4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，
综合
图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围
.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形
的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三
角形面积； ② 也要注意系数
k 的几何意义 .
例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：
S△
AOC=S △OPE ＞ S △BOD
知识点三：反比例函数的实际应用
（ 1 题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （ 2 设出函数表达式；
7 . 一般步骤
（ 3）依题意求解函数表达式；
（ 4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
1. 比例线段
知识点一：比例线段
2. 比例的基本性质
第二十七章、相似
a
c
d ，那么这四条线段
在四条线段
a， b， c ，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即
b
a， b， c， d 叫做成比例线段，简称比例线段．
a
(1)基本性质：b
a
(2)合比性质：
b
a
b
(3) 等比性质：
a c ... m
b d ... n ＝ k.
d
c
? ad ＝ bc ；（ b、 d≠0）
c
a
b c
d
d ? b
；（ b、 d≠0）
c
m＝
d
d ＝ ?＝ n ＝ k(b ＋ d＋? ＋ n≠0)?
b、d、···n≠、0）
-----
（
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（ 1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例 .即如图所示，
l 1 A B C
l2
D
l3
AB DE
E
F
l4
若 l3 ∥ l4 ∥ l5 ，则 BC EF .
（ 2）平行于三角形一边的直线截其他两边
3. 平行线分线段成比例
定理
l5
(或两边的延长
线) ，所得的对
A
O
B
应线段成比例.
OA
即如图所示，若 AB ∥ CD ，则 OD
角形相似．
OB
C D
OC .
（ 3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三
A
D E
C
如图所示，若
DE ∥ BC ，则△ ADE ∽△ ABC.
B
AC
5－ 1
点 C 把线段 AB 分成两条线段
AC 和
BC，如果
2 ≈ 0.618 ，那么线段
黄金分割．其中点 C 叫做线段
AB ＝=
AB 被点 C
AB 的黄金分割点，
AC 与 AB 的比叫做黄金
4. 黄金分割
比．
例：把长为 10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为
5( 5 － 1)cm
知识点二
：相似三角形的性质与判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似
(AAA).
D
A
如图，若∠ A ＝∠ D，∠ B ＝∠ E ，则△ ABC ∽△ DEF.
B CE
F
(2) 两边对应成比例，
且夹角相等的两个三角形相似．如图，若
A
D
5. 相似三角形的判
定
AC
∠ A＝∠ D ， DF
AB
B
DE ，则△ ABC ∽△ DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若
C E A
D
F
AB AC BC
B
C E
F
DE DF EF ，则△ ABC ∽ △ DEF.
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
6. 相似
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
2019人教版本数学初中九年级的下册的学习知识点总结计划.docx
