第十章 静电场中的导体和电介质
一 选择题
1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q ( a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )
qqRqqa A . B . C . D . 224π?0a4π?(a?R)4π?0a4π?o(a?R)0解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷?q?分布在导体球表面上，且
?q??(?q?)?0，它们在球心处的电势
dq?1 V????dq??0 ??q?4π?R?q?4π?R00q点电荷q在球心处的电势为 V?
4π?0aq据电势叠加原理，球心处的电势V0?V?V??。
4π?0a所以选（A）
2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )
?2??? d A . E? B . E? C . E= D . E= 2?0?0ε02ε0 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板d 的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2? S，可得 E??。 ?0选择题2图
所以选（C）
3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为d处(d qA. 0 B. 4π?0dR +q ．qq11o d C. D. (?)4π?0R4π?0dR解：球壳内表面上的感应电荷为-q，球壳外表面上的电 q?q选择题3图 ?)。 荷为零，所以有V0?4π?0d4π?0R所以选（ D ） 4. 半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比R /r为 ( ) A． R／r B. R2 / r2 C. r2 / R2 D. r / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q、q，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则 QqQR?? 即 4π?0R4π?0rqr?RQ/4?R2r?? ?rq/4? r2R所以选（D） 5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度为 ( ) A. ε0 E B. ε0εr E C. εr E D. (ε0εr ε0) E 解：根据有介质情况下的高斯定理??D?dS??q，取导体球面为高斯面，则有 D?S???S，即??D??0?rE。 所以选（B） 6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为E0，现断开电源，注满相对介质常数为εr的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（ ） εε(ε?1)(ε?1)A . 0E0 B . 0rE0 C . rE0 D . ε0(εr?1)E0 εrεrεr解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q不变，D0=D 即 ?0E0??0?rE 得到 E?E0/?r 又 D??0E?P P?D??0E??0E0??0E0?0(?r?1)?E0 ?r?r所以选（B） 7. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较 ( ) A. 实心球电容值大 B. 实心球电容值小 C. 两球电容量值相等 D. 大小关系无法确定 解：孤立导体球电容C?4π?0R，与导体球是否为空心或者实心无关。 所以选（C） 8. 金属球A与同心球壳B组成电容器，球A上带电荷q，壳B上带电荷Q，测得球和壳间的电势差为UAB，则该电容器的电容值为（ ） A. q/UAB B. Q/UAB C. (q+Q)/ UAB D. (q+Q)/(2 UAB) 解：根据电容的定义，应选（A）。 9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c。 若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 ( ) A. C B. ２C／３ C. 3 C／２ D. ２C d /3 d 解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为： 选择题9题 ?d2? d U?Ed?? (d?)??033?0其电容值变为： C??Q? S3?0S3???C U2? d2d23?0所以选（C） 10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变( ) A. 电容器的电容量 B. 两极板间的场强 C. 电容器储存的能量 D. 两极板间的电势差 解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容C?改变两极板间的距离d，则电容C发生变化；两极板间的场强E?? Sd， U，U不变，d变化，则场强发生变化；d1电容器储存的能量We?CU2，U不变，d变化，导致电容C发生变化，则电容器储存的能量也要发生 2变化。 所以选（D） 二 填空题 1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为(x、y、z)，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E(x、y、z) = ，其方向 。 解：E(x、y、z)= (x、y、z)/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(>0)或与导体表面垂直朝里(σ<0)。 2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为 ，则导体板两侧面的感应电荷密度分别为1 和2 = 。 1 2 解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得： ????1?2?0；?1???2。由此可解得：2?02?02?0。 22填充题2图 3. 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒(R1< R2)，其间 充满着相对介电常数为εr的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为 和 ，则介质中的电位移矢量的大小D= ，电场强度的大小E= 。 解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D= /（2πr）， 电场强度大小E= D/εrε0= /（2πεrε0 r）。 4. 电容值为100pF的平板电容器与50V电压的电源相接，若平板的面积为100cm2，其中充满εr=6的云母片，则云母中的电场强度E= ；金属板上的自由电荷Q = ；介质表面上的极化电荷Q' = 。 QDCU解：极板间电场强度E????9.42?103V/m，两极板上自由电荷 ?0?r?0?rS?0?rSQ?Q?Q?CU?5?10?9C，由高斯定理，当有介质时，对平板电容器可有E?S?， Q为自由电荷，Q' ?1??? ；?2???0为介质表面上的极化电荷，代入已知数据可求得Q' = ×10-9 C。 5. 平行板电容器的两极板A、B的面积均为S，相距为d，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为εr1和εr2的电介质，则电容器的电容为 。 解：该电容器相当于是两个面积为S/2的电容器的并联，电容值分别为： 11?0?r2S?0?r1S2， 2，C?C1?2dd?S?C?C1?C2?0(?r1??r2) 2d6. 半径为R的金属球A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×105J,今将该球与远处一个半径是R的导体球B用细导线连接，则A球储存的电场能量变为 。 1Q2解：金属球A原先储存的能量W??5?10?5J,当它与同样的金属球B连接，则金属球A上的电 2C1(Q/2)2荷变为原来的1/2，则能量W???1.25?10?5J 2C7. 三个完全相同的金属球A、B、C ，其中A球带电量为Q，而B、C球均不带电，先使A球同B球接触，分开后A球再和C球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A 、B两球所储存的电场能量WeA 、WeB ，与A球原先所储存的电场能量We0比较，WeA是We0的 倍，WeB是We0的 倍。 1Q2解：初始A球的电场能量We0?，先使A球同B球接触，则 2C1(Q/2)211?We0， QA?QB?Q，WeB?2C42分开后，A球再和C球接触，则 1(Q/4)211?We0 QA?QC?Q，WeA?2C1648. 一空气平行板电容器，其电容值为C0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W0，今在两极板间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，则此时电容值C= ，储存的电场能量We = 。 Q解：初始时电容C0?0，充电后将电源断开，Q0不变，由E?D/?0?r，当两极板间充满电介质时， U0?22WQ0dU01Q01Q0Q0??0。 两极板电势差U?Ed?，?C?d????rC0 W?2C2?rC?r?0?r?0?rS?rU9. 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上并保持电压恒定为U。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的改变为 ，电源对电场做功为 ，外力对极板做功为 。 11?0S2解：初始时，电容器的静电能We0?Q0U0?U0将极板距离拉开一倍，电容值变为 22d?S111C?0?C0，极板间电压不变，?Q?CU0?C0U0?Q0，此时电容器的静电能 2d222111?0S2We?QU0?We0?U 244d1?S∴电容器中静电能的改变 ?We?We?We0??0U2 4d11?S电源对电场做功W?U?q?U(Q0?Q0)??0U2 22d由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功 D U?U?4d2d4d10. 平板电容器两板间的空间（体积为V）被相对介电常数为εr的绝缘体充填，极板上电荷的面密度为，则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为 。（摩擦不计） D?D?解：当平板电容器充满相对介电常数为εr电介质时，场强E1?，抽出后场强E2? ??W???We?W???0S2?0S2?0SU2?0?r?0?r?0?0此时具有的静电能 We1????wdV????e11?22?0?rE1dV?V 22?0?r11?22V 当电介质取出后静电能 We2????wedV?????0E2dV?22?0由能量守恒，在此过程中若不计摩擦，外力做功的等于静电能的增量 1?21?2?2V1V?V?(1?) We?2?02?0?r2?0?r 三 计算题 1. 如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷；(2)球心处由球壳内表面上电荷产生的电势；(3)球心处的总电势。 解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷q，外表面上带电荷q+Q。 （2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为 V?q??dq4πε0a??q 4πεa0（3）球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和电荷q 在O点产生的电势的代数和 Q q a r b 计算题1图 V0?Vq?V?q?VQ?q?qqQ?q??πε4πε4πε0r0a0bqQ111 ?(??)?4πεab4πε0r0b 7. 两同心导体球壳中间充满相对介电常数为εr的均匀电介质，其余为真空，内球壳半径为R1，带 电量为Q1；外球壳半径为R2，带电量为Q2，如图所示。求图中距球心O分别为r1、r2、r3的a、b、c三点的场强和电势。 解：分别取半径为r1、r2、r3的高斯球面，利用高斯定理得： Ea=0 Q1Eb?,沿径向方向向外 24π?0?rr2Q?Q2Ec?1, 沿径向方向向外 4π?0r22Q1 R 2?R2∞Q111Q?Q2O R1 Ebdr?Ecdr?(?)?1r1?R1，Ua?Edr?a r1R1R24π?0?rR1R24π?0R2r1 r2 ?R2∞Q111Q1?Q2b Q2 Ebdr?Ecdr?(?)?R1?r2?R2，Ub?Edr?r3 r2r2R24π?0?rr2R24π?0R2c ∞∞Q?QQ?Q计算题7图 122 r3?R2，Uc?Ecdr?dr?12r3r344π?0r3π?0r????????8. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间距离为d，在两极板间平行地插入一面积也是S， 厚度为t的金属片，试求：(1)电容C等于多少(2)金属片在两极板间放置的位置对电容值有无影响 解：设极板上分别带电量+q和q；金属片与A板距离为d1，与B 板距离为d2；金属片与A板间场强为 E1 =q / (ε0 S ) q +q 金属板与B板间场强为 E2 =q / (ε0 S ) 金属片内部场强为 E??0 A B 则两极板间的电势差为 d1 d2 UAUB=E1d1+E2d2 =( q /ε0S)(d1+d2) = (q /ε0S) (d t) t 由此得 C=q /(UA UB) =ε0S /（d t） d 因C值仅与d、t有关，与d1、d2无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。
10静电场中的导体和电介质习题解答
