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微分方程
综述：微分方程可以看做一元函数微积分学的应用与推广，主要考查考生的计算能力。这一部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右.
本章的主要知识点有：微分方程的阶、通解和特解等基本概念，可分离变量方程的求解，齐次方程的求解，一阶线性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降阶的高阶微分方程的求解，高阶线性微分方程解的结构，高阶线性微分方程的求解，欧拉方程的求解.学习本章时，首先要熟悉各类方程的形式，记住它们的求解步骤，通过足量的练习以求熟练掌握.在此基础上，还需要具备结合微积分其它章节的知识或者根据问题的几何及物理背景抽象出数学模型，并建立微分方程的能力.一般来说，考生只要具备扎实的一元函数微积分的相关知识，学习本章的时候不会有太大的困难.
本章常考的题型有：1.各种类型微分方程的求解，2.线性微分方程解的性质，3.综合应用.
常考题型一：一阶方程的求解
1．可分离变量方程
1.【2006-1 4分】微分方程y??y(1?x)的通解是 x2.【2008-1 4分】微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解是y?????????????????? 3.【1998-2 3分】已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x??，且当21?x?x?0时，?是?x的高阶无穷小，y(0)??，则
y(1)等于
24.【1994-23分】微分方程ydx?(x?4x)dy?0的通解为
5.【2001-23分】微分方程
y?arcsinx?y1?x2?1?1?y??满足?2?=0的特解为（ ）．
6.【2005-3 4分】微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为 .
?x?x(t)?7.【2008-2 10分】设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是t2y??ln(1?u)du?0??dx?xd2y??2te?0初值问题?dt的解. 求2.
dx?x|?0?t?0
【小结】：如果一个一阶微分方程可以写成g(y)dy?f(x)dx的形式，我们就称该微分方程为可分离变量的微分方程.对该方程的两端求不定积分g(y)dy???f(x)dx就得到微分
方程的通解.
2.齐次方程
dyy1?y?8.【2007-3 4分】微分方程????满足ydxx2?x?3x?1?1的特解为y?________.
dyy?x2?y29.【1996-3 6分】求微分方程的通解. ?dxx10.【1993-1 5分】求微分方程x2y??xy?y2满足初始条件y222x?1?1的特解
11.【1997-2 5分】求微分方程(3x?2xy?y)dx?(x?2xy)dy?0的通解.
??(y?x2?y2)dx?xdy?0,(x?0)12.【1999-27分】求初始问题?的解.
??yx?1?013．【2014-1 4分】微分方程xy'?y(lnx?lny)?0满足y(1)?e的解为．
3
ydy?f(x,y)中的函数f(x,y)可以写成?()的形式，则称
xdxy
该方程为齐次方程.对于齐次方程，我们引入新函数u?，则y?ux.由一元函数微分学的
x
【小结】：如果一阶微分方程
知识，可知dy?xdu?udx.代入原方程可得xdudxdu??u??(u)，整理得.则原
?(u)?uxdx方程就被化为了可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数u，再由y?ux就可以得到
未知函数y的表达式.齐次方程是通过变量代换化为可分离变量方程的。对方程作变量代换将其化作更为已经求解过的类型是解微分方程的一个非常重要的思想。这一点在考试大纲上虽没有明确要求，但也需要引起考生的注意，稍微了解一些其它将对微分方程作变量代换的方法。
3.一阶线性微分方程
14.【2012-24分】微分方程ydx?(x?3y2)dy?0满足初始条件y|x???1的解为________。 15.【2004-23分】微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足yx?1?16.【2005-2 4分】微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??6的特解为. 51的解为______ . 92?x17.【2008-2 4分】微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
18.【1992-1 3分】微分方程y??ytanx?cosx的通解为
?x19.【2011-1 4 分】微分方程y??y?ecosx满足条件y?0??0的解
y?__________.
20.【1992-2 5分】求微分方程(y?x3)dx?2xdy?0的解
21.【1993-2 5分】求微分方程(x2?1)dy?(2xy?cosx)dx?0满足初始条件y的特解.
22.【1995-28分】设y?ex是微分方程xy?p?x?y?x的一个解，求此微分方程满足
'x?0?1条件yx?ln2?0的特解.
23.【1996-2 8分】设f(x)为连续函数,
??y??ay?f(x),(1) 求初值问题?的解y(x),其中a为正的常数；
y?0??x?0(2) 若|f(x)|?k(k为常数),证明：当x?0时,有|y(x)|?'k(1?e?ax). a?2,x?1,试求，在
?0,x?1.24.【1999-3 6分】设有微分方程y?2y???x?，其中??x??????,???
内的连续函数y?y?x?，使之在???,1?和?1,???内都满足所给方程，且满足条件y?0??0. 25.【2012-2，3 10分】已知函数f(x)满足方程f(x)?f(x)?2f(x)?0及
'''f'(x)?f(x)?2ex.
1）求表达式f(x) 2）求曲线的拐点y?f(x)2?x0f(?t2)dt
【小结】：方程具体步骤如下：
? 先令Q(x)?0得到相应的齐次线性方程程：
dy?P(x)y?Q(x)称为一阶线性微分方程.我们常用常数变易法来求解，dxdy?P(x)y?0，这是一个可分离变量方dxdy??P(x)dx，两边积分可得lny???P(x)dx?C1，也即y?P(x)dxy?Ce?,?C??eC1?
?P(x)dx?P(x)dx? 将y?Ce?中的常数换为未知函数C(x)，得到y?C(x)e?，再将?P(x)dxy?C(x)e?代入原微分方程.则有：
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dxC'(x)e??P(x)C(x)e??P(x)C(x)e??Q(x)
整理得C(x)?Q(x)e?'P(x)dx.
P(x)dx 两端积分得C(x)?Q(x)e??dx?C.
? 再将C(x)??Q(x)e?P(x)dx?P(x)dxdx?C代回y?C(x)e?就得到
?P(x)dxdx?C?e??P(x)dx y??Q(x)e?????2、考试在微分方程这一处对考生的要求可以分为“识别”和“求解”两方面：由于考试给的方程往往不是我们所熟知的标准形式，因此考生在拿到一个方程之后所需要做的第一件事就是给它归类，识别出它的类型，这要求我们对各种微分方程的具体形式及其变形比较熟悉；锁定了方程的类型之后，就可以按照相应的求解步骤求解了，求解过程中主要需要用到不定积分的计算.
4.全微分方程*（数一）
26.【1994-1 9分】设f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0,f?(0)?1，且
[xy(x?y)?f(x)y]dx
?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解
【小结】：全微分方程的求解与多元函数积分学中求二元函数全微分的原函数实质上是一样的，其求解方法主要有三种： ⅰ）特殊路径积分法：u(x,y)?ⅱ）不定积分法：由
?xx0P(x,y0)dx??P(x,y)dy；
y0y?u?P(x,y)得u(x,y)??P(x,y)dx?C(y)，再对y求导得 ?x'?u???x?x??P(x,y)dx??C(y)?Q(x,y)，由该方程可解得C(y)。
ⅲ）凑微分法：P(x,y)dx?Q(x,y)dy?...?du
常考题型二：可降阶的高阶方程的求解*（数一、数二）
27.【2000-1 3 分】微分方程xy???3y??0的通解为.
228.【2002-1 3 分】微分方程yy???y??0满足初始条件y(0)?1，y(0)?'1的特解 2为.
229.【2007-2 10分】求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
【小结】：可降阶的高阶微分方程主要有两种，其形式和求解过程如下
'''1）y?f(x,y)型的方程
作变量代换p?y'，则有y?''dpdp?f(x,p)，.代入原方程有这是一个关于未知函数pdxdx'的一阶微分方程.求解它，我们可以求出y'，设y??(x,C)，则积分可以得到y. '''2）y?f(y,y)型的方程
作变量代换p?y'，则有y?''dpdpdpdydp?f(y,p)，这是??p.代入原方程有pdydxdydxdy'一个关于未知函数p的一阶微分方程.求解它，我们可以求出y'，设y??(y,C)，则积分
考研数学高数真题分类—微分方程
