实数和二次根式》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平方根和立方根 类型 项目 被开方数 符号表示 性质 平方根 非负数 立方根 任意实数 3?a 一个正数有两个平方根，且互为a 一个正数有一个正的立方根； 第1页 共12页
相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； (a)2?a(a?0)重要结论 (3a)3?a33?a(a?0) a?a????a(a?0)2a3?a?a??3a 要点二、无理数与实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类
??正有理数????有理数零??有限小数或无限循环小数???负有理数?实数? ????无理数?正无理数?无限不循环小数???负无理数???要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形
式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即a≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a?0 (a?0).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算
数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
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5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反
而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式
形如a(a?0)的式子叫做二次根式，如3,1都叫做二次根式. ,0.02,0等式子，2要点诠释：二次根式a有意义的条件是a?0，即只有被开方数a?0时，式子a才
是二次根式，a才有意义.
2.二次根式的性质
（1）（2）
； ；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a?(a)2
（a?0），如2?(2)2;11?()2;x?(x)2（x?0）. 33（2） a2中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义.
（3）化简a2时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）a2与(a)2的异同
不同点：a2中a可以取任何实数，而(a)2中的a必须取非负数；
2a2=a，(a)=a（a?0）.
相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，a2=(a)2.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
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《实数和二次根式》全章复习与巩固(提高)知识讲解
