获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局． （I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望． 【解答】解：记Ai表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5） Bi表示第j局乙获胜，j=3、4
（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利， ∵前2局中，甲、乙各胜1局，
∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局， ∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5 由于各局比赛结果相互独立，
∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5） =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648
（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3
由于各局相互独立，得到ξ的分布列 P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52 P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48 ∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．
20．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=
，求数列{bn}的通项公式；
．
（2）求数列{an}的前n项和Sn． 【分析】（1）由已知得项公式．
（2）由题设知an=2n﹣设Tn=1+
+
+
+…+
，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++，由错位相减法能求出Tn=4﹣
+
+…+
），
=
+
，即bn+1=bn+
，由此能够推导出所求的通
．从而导出数
列{an}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=
+
，
即bn+1=bn+，从而b2=b1+，
b3=b2+，
bn=bn﹣1+
（n≥2）．
于是bn=b1+++…+
=2﹣
（n≥2）．
又b1=1，
故所求的通项公式为bn=2﹣．
（2）由（1）知an=2n﹣，
故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），
设Tn=1++++…+
，① Tn=+
+
+…+
+
，②
①﹣②得， Tn=1++
+
+…+
﹣
=﹣=2﹣﹣，
∴Tn=4﹣
．
∴Sn=n（n+1）+
﹣4．
21．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点． （Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．
（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程， 消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）
抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
∴
即
解这个方程组得
． ，
．
（II）设四个交点的坐标分别为
、
、、．
则直线AC、BD的方程分别为y﹣（x﹣x1），
解得点P的坐标为（
，0），
=
?（x﹣x1），y+=
则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令
，
则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值． 由
三
次
均
值
有
：
当且仅当7+2t=14﹣4t，即经检验此时
故所求的点P的坐标为
时取最大值．
满足题意．
．
22．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域； （2）证明：
．
【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根
据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；
（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c的范围求出f（x2）的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2] 等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为（4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0， 则故
由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0， 故
．
，
．（8分）
又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分） 所以
．
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）
