2007机械工程控制基础第二章习题答案
第二章 系统的数学模型
第2讲
2.1 什么是线性系统，其最重要的特性是什么？
答：线性系统：系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即满足叠加原理：
?可加性:f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) ?齐次性:f(ax)?af(x)?'?(t) y2.2(b)、对图(b)所示系统,由牛顿定律有 f(t)?ky(t)?m? 其中k?'kkk1k2??，所以my(t)+12y(t)=f(t)
k1?k2k1?k2xi表示
2.3 图(题2.3)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中输入位移，
x0表示输入位移，假设输出端无负载效应。
解：（2）对图（b）所示系统，引入一中间变量x ,并由牛顿定律有
???x?0)(xi?x)k1?c(x??x?0)?k2x0c(x
?0?k1k2x0?ck1x?i 消除中间变量有：c(k1?k2)x2.4解：（1）对图（a）所示系统，设i1为流过R1的电流，i为总电流，则有
1?u?Ri?idt2??0C2???ui?u0?R1i1?1?ui?u0??(i?i1)dt?C1?消除中间变量，并化简有：
??0?(1?C1R2uR2C1RC11?0???i?(2?1)u?i??)uu0?C1R2uuiR1C2C2R1R1C2C2R1
（2）对图（b）所示系统，设i为电流，有：
1?u?u?Ri?idt01??iC?1??u?1idt?Ri02??C2?消除中间变量，并化简有：
?0?((R1?R2)u第3讲
1、传递函数的定义
111?i??)u0?R2uuiC1C2C2
答：系统的传递函数记作G(s)，其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。它是以复变数s为自变量的函数。 2、传递函数特点：
答：①作为复数域中的系统数学模型，传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。传递函数的分母反映了系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系；
②当系统的初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉氏变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程； ③传递函数分子中s的阶次不会大于分母s的阶次；
④传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲；
⑤不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可具有相同的传递函数。 ⑥传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对多输入、多输出系统，需对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系，即只描述系统的外部特性，而未表示系统中间变量之间的关系，即描述系统的内部特性。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。
3、传递函数的零、极对系统性能的影响：
答：传递函数的零、极点分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状，即影响系统的瞬态性能。其中： ①极点位置决定系统是否稳定；
②零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影响。 第4讲
1、微分环节的控制作用有哪些？
答：ⅰ使输出提前；ⅱ增加系统的阻尼；ⅲ在强化激励作用的同时也强化了噪声的作用 2、熟悉常见典型环节类型及其传递函数。 答： 略 第5讲
2.5、解：已知图中M为输入转矩，
Cm
为圆周阻尼，J为转动惯量。
M θ x k R c m J Cm 图(题2.5) 设系统输入为M=M(t)，输出为θ=θ(t)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
???C???M?J?m?Rk(R??x)消除中间变量，并化简有： ???cx?x?k(R??x)?m?????(R2km?Cc?kJ)????k(cR2?C)???mM???cM??kM mJ?(4)?(mCm?cJ)?mm2.6（d）解：sY(s)?3sY(s)?6Y(s)?4Y(s)?4R(s)，
32所以：Y(s)R(s)?4s(s?3s?6s?4)
21s2.7解：由传递函数的定义，有：Xi(s)?1s，Y(s)?112 ??ss?2s?1Y(s)2s2?6s?2所以 ?2X(i)s?3s?22.8、输出y(t)与输入x(t)的关系为：y(t)?2x(t)?0.5x(t)
解：（a）将x0?0,x0?1,x0?2分别代入y(t)?2x(t)?0.5x(t)中，可得当工作点为
33x0?0,x0?1,x0?2时相应的稳态输出值分别为y0?0,y0?2.5,y0?8
（b）根据非线性系统线性化的方法有，在工作点(x0,y0)附近，将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得：
3y0??y?2x0?0.5x0?(2?1.5x2)x?x0??x
??y?(2?1.5x2)x?x0?x。若令x??x,y??y有
2当工作点为x0?0时，y?(2?1.5x0)x?2x 2当工作点为x0?1时，y?(2?1.5x0)x?3.5x
2当工作点为x0?2时，y?(2?1.5x0)x?8x
2.11 解 对题2.4(a)系统,可列出相应方程：
1?u?Ri?idt2?0c2????ui?u0?R1i1?1?ui?u0??(i?i1)dt?c1??(0)?0 I(0)?I?(0)?0 I(0)=I11(1)(2) (3)对以上三式做Laplace变换,并注意到初始条件为零,即
I(s)1?U(s)?RI(s)??(R?)I(s)22?0C2sC2s??则?Ui(s)?U0(s)?R1I1(s)?I(s)I1(s)?Ui(s)?U0(s)???CsC1s1?(5)×
(4)(5) (6)R11得：[Ui(s)?U0(s)]=1I1(s)C1sC1sC1sR1RI(s)?1I1(s)C1sC1s(7)
(6)×R1得：R1[Ui(s)?U0(s)]=
(8)
(7)+(8)得：(
R1+R1)[Ui(s)?U0(s)]=1I(s)
C1sC1sR1C1sR1I(s)=I(s) ×
C1s1?R1C1s1?R1C1sR1I(s)1?R1C1s(9)
即Ui(s)?U0(s)=
则有Ui(s)?U0(s)+
将(4)式中的U0(s)代入(9)式得：
Ui(s)=(
R1R111I(s)=(+R2)I(s)+ +R2+) I(s)
1?R1C1s1?R1C1sC2sC2s再用(4)式与上式相比以消去I(s), 即得电系统的传递函数为：
11 )I(s)R2 + UsC2sC2sG(s)=0?=
R1R111Uis (+R2 + ) I(s) +R2 + C2s1?R1C1sC2s1?R1C1s(R2 +本题中,引入中间变量x , 依动力学知识有：
?i?x?0)c2?(x?0?x?)c1?(xi?x0)k2?(x ??0?x?)c1?k1x?(x对上二式分别进行拉氏变换有：
?k2[Xi(s)?X0(s)]?sc2[Xi(s)?X0(s)]?[X0(s)?X(s)]sc1? c1sX0(s)?X(s)??k1?c1s?X0(s)?Xi(s)k2?c2s?k1c1skk2?c2s?c2?2?k1?c1ssc2?k2sc1c1?1sk1消除X(s)有：G(s)?
比较两系统的传递函数有：k2?1c2，k1?1c1，c2?R2，c1?R1 故两个系统有相似的传递函数，为相似系统。 2.14、系统传递函数方框图如下：
R(s) N(s) E(s) ? G1(s) ? G2(s) Y(s) - C(s) B(s) H(s) 图（题2.14）
解：（1）以R(s)为输入。当N(s)?0时：
以C(s)为输出时有：GC?G1(s)G2(s)C(s)? R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)G1(s)Y(s)? R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)H(s)B(s)? R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)以Y(s)为输出时有：GY?以B(s)为输出时有：GB?以E(s)为输出时有：GE?E(s)1? R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)（2）以N(s)为输入。当R(s)?0时：
以C(s)为输出时有：GC?G2(s)C(s)? R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)
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