正弦函数、余弦函数的图象
【要点梳理】
要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。 2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在[0,2?]内的图象，再通过平移得到y?sinx和y?cosx的图象。 3．五点法
先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
在确定正弦函数y?sinx在[0,2?]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0),(要点诠释：
（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若x?R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2?]上的图象，然后通过左、右平移可得到y?sinx和y?cosx的图象。
（3）由诱导公式y?cosx?sin(x?单位长度得到。
要点二：正弦曲线、余弦曲线
（1）定义：正弦函数y?sinx(x?R)和余弦函数y?cosx(x?R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。 （2）图象
要点诠释：
（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如x??0,2??，方程lgx?sinx根的个数。 要点三：函数图象的变换
图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
?3,1),(?,0),(?,?1),(2?,0) 22?2)，故y?cosx的图象也可以将y?sinx的图象上所有点向左平移
?个2y?sinx?y?sin(x??)?y?Asin(?x??)
【典型例题】
类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象 例1．用五点法作出下列函数的图象。 （1）y?2?sinx，x?[0,2?]；
（2）y?cos?x?????6??，x?????11??,。 ??66?【思路点拨】（1）取[0,2?]上五个关键的点（0，2）、（
3??,3)、（2?，2）。（2）取，1）、(?,2)、(22??11???,上五个关键的点。 ??66??【解析】 （1）找出五点，列表如下：
x 0 0 2 ? 21 1 ? 0 2 3?2－1 3 2?0 2 u?sinx y=2－u 描点作图（如下图）。
（2）找出五点，列表如下：
u?x?x ?6 0 ??61 ? 2? 30 ? 5?6－1 3?24?30 2?11?61 y=cos u 描点作图（如下图）。
【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。
举一反三：
【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y=－sin x（0≤x≤2π）；（2）y=1+cos x（0≤x≤2π） 【解析】 （1）列表：
x sin x －sin x 0 0 0 ? 21 －1 ? 0 0 3?2－1 1 2?0 0 描点作图，如图（1）：
（2）列表：
x cos x 1+cos x 0 1 2 ? 20 1 ? －1 0 3?20 1 2?1 2 描点作图，如图（2）。 类型二：利用图象变换作出函数的图象 例2．（1）作函数y?1?cos2x的图象； （2）作函数y?1?sinx的图象。 tanx【思路点拨】（1）要善于利用函数y?f(x)的图象来作y?|f(x)|及y?f(|x|)的图象。 （2）函数y?对应的点去掉。
【解析】 （1）将y?1?cos2x化为y?|sinx|，其图象如下图。
（2）当sinx?0，即x≠kπ（k∈Z）时，有y?如下图。
1?sinx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因此作出函数y?cosx的图象后，要把x=kπ（k∈Z）tanx1?sinx?cosx，即y?cosx（x≠kπ，k∈Z）。其图象tanx【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数f(?x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，?f(x)与f(x)的图象关于x轴对称，?f(?x)和图象与f(x)的图象关于原点对称，f(|x|)的图象关于y轴对称。 举一反三：
【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：y?1?cosx。
【解析】 先作出y?cosx的图象，然后利用对称作出y??cosx的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图。
类型三：利用函数图象解简单的三角不等式
例3．画出正弦函数y?sinx（x∈R）的简图，并根据图象写出： （1）y?1时x的集合； 2（2）?13?y?时x的集合。 22【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。
【解析】
（1）过?0,?点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于???1?2???1??5?1?,?两点，,?、?62?62???在[0，2π]区间内，y?1时x的集合为25??1???x?x??。当x∈R时，若y?，则x的集合为
6?2?65????x?2k??x??2k?,k?Z?。 ?6?6?1??3??（2）过?0,??、?0,两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线???22????交于???3??2?3?13?7?1??11?1???y?,??，?,??点和?,,，点，那么当时，x的集合为 ???????222??62??6?32??32???7????2???2k??x??2k?,k?Z?或 ?x??2k??x??2k?,k?Z?U?x636???3?7?7??2???11??x?2k??x??2k?,k?ZUx?2k??x??2k?,k?Z?。 ???63?3??6?【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重
要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。
举一反三：
【变式1】已知x???3??3?,??，解不等式sinx??。
222??【解析】画出函数y=sin x，x???3??3?,??的图象，画出函数y??的图象，如下图，两函数的图象交于A、
222?????433?3???4?B两点，其中A??,?，B??,?，故满足sinx??的x的取值范围是??,??。 ???3?322?2??33?????
类型四：三角函数图象的应用
例4．（1）方程lgx?sinx的解的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）若0?x??2，则2x与3sinx的大小关系为（ ）
A．2x?3sinx B．2x?3sinx C．2x?3sinx D．与x的取值有关
【思路点拨】（1）作出y?lgx,y?sinx的函数图象，观察图象交点个数。（2）作出y?2x与y?3sinx的函数图象，利用数形结合可得。
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1） 作出y?lgx与y?sinx的图象，当x?5559?时，y?lg??1，y?sin??1，当x??2222时，y?lg??1，y?lgx与y?sinx再无交点。如下图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解。
（2）作图（如下图），观察函数y1?2x，y2?3sinx在?0,值有关。
举一反三：
【变式1】下列各式中正确的为( )
92????内的图象可知2x与3sinx的大小关系与x的取2??54?>sin? 7715?C.cos?>cos(?)
87A.sin【答案】D
B.sin(?)
5639 D.cos(??)>cos(??)
54?)>sin(??正弦函数、余弦函数的性质
【要点梳理】
要点一：周期函数的定义
函数y?f(x)，定义域为I，当x?I时，都有f(x?T)?f(x)，其中T是一个非零的常数，则y?f(x)是周期函数，T是它的一个周期.
要点诠释：
1.定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x?T)?f(x)或只差个别的x值不满足
f(x?T)?f(x)都不能说T是y?f(x)的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx 定义域 值域 奇偶性 周期性 R [-1，1] 奇函数 最小正周期2? 增区间 单调区间 k∈Z R [-1，1] 偶函数 最小正周期2? [2k??，2k??]22 减区间 ??增区间?2k???，2k?? 减区间 [2k??最值点 k∈Z 对称中心 k∈Z 对称轴 k∈Z 要点诠释： ?2，2k??最大值点(2k??最小值点(2k???3?]2 ,1) 22?,?1) 最大值点 最小值点 0? ?k?，x?k???2 x?k? （1）正弦函数、余弦函数的值域为??1,1?，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是??1,1?，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求y?sin(?x)的单调递增区间时，应先将y?sin(?x)变换为y??sinx再求解，相当于求y?sinx的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．
要点三：正弦型函数y?Asin(?x??)和余弦型函数y?Acos(?x??)(A,??0)的性质．
函数y?Asin(?x??)与函数y?Acos(?x??)可看作是由正弦函数y?sinx，余弦函数y?cosx复合而
人教版高中数学正弦函数+余弦函数图像专题复习
