积 分 学
1、原函数与不定积分的概念、性质、基本积分表公式（必须牢记24个积分公式）
例1：（17级）设f(x)的一个原函数为
（答
sinx
，则 ?[f?(x)?2x]dx?( ) xxcosx?sinx
?x2?C） 2
xx2
例2：（16级）已知e
2
是f(x)的一个原函数，则xf?(x)dx? x2
?
（答：(2x?1)e?C），P222，3类似）.
例3：（15级）在下列等式中，正确的结果是（ ）.（选择题红色字符为正确答案，后面类同）
A. C.
?f?(x)dx?f(x) B.?df(x)?f(x)
d
f(x)dx?f(x) D. d?f(x)?f(x) ?dx
（15级）若f(x)的一个原函数为cosx，则xf'(x)dx? [ ]
（A） ?xsinx?cosx?C （B） xcosx?sinx?C （C） ?xsinx?cosx?C （D） xsinx?cosx?C.
例4：（14级）设f(x)?(lnx) ，则 例5：（13级）设
2
?
?
f?(e?x)2
dx? ．（答：?x?C） x
e
f(x)的一个原函数为lnx，则?x2f??(x)dx?__ _.3.
2lnx?C
补充1：设f(x)?e?x，则
?
f?(lnx)
dx?(x
1
)；答（??C）
x
);（答：(2?x2)sinx?2xcosx?C）
补充2：设f(x)的一个原函数为sinx，则x2f??(x)dx?(补充3：（17年A）
?
?
f'(x)
dx? （答：arctanf(x)?C） 2
1?[f(x)]
补充4：若f(x)连续，则d(f(x)dx)?（ ）
?
(A) f(x) (B) f(x)?C (C) f(x)dx (D) f?(x)dx 补充课后相关内容及习题，P222（1，2，3）
2、定积分的性质及几何意义（对称性、积分中值定理，等。P236部分题）
2x?x1?x例1：（17级）定积分?dx? . （答 ?/2）；（15级）?dx? . （答 ln3）； ?11?x2?22?x2
1
例2：（16级）
?
1?1
1?sinx1?x
2
dx? .（答 ?）；
例3：（14级）定积分
?
2?2
4?x2dx? ( ).
A 4? B 2? C
例4：（13级）
? D
?2
?
1
?1
(e?x?3xcosx3)xdx? . 答：4.
2
2
2sin1
例5：设f(x)是连续函数，且f(x)?x?x
A x?
2
?
1
0
f(x)dx，则f(x)?( ).
2113
x B x2?x C x2?x D x2?x 3322
例6：设函数f(x)连续，且?(x)?
?
x0
f(x?t)dt，则??(x)?( ).
A f?(x) B ?f?(x) C f(x) D ?f(x)
补充：课后相关内容与习题，（P271，1，2，）
3、不积分与定积分的计算（换元法（第一类第二类换元法）、分部积分法、有理函数的积分（简单无理函数积分））
（计算定积分时注意对称性，如果是对称区间首先考虑用对称性化简再计算，定积分几何意义）
2
例1：（17级） 求不定积分?xlnxdx. （答案：?
131
xlnx?x3?C） 39 计算定积分
?
13
4dx
.（答：?1?2ln2）
1?x?1
例2：（16级） 计算积分
arctanxdx.（答：?2xarctanx?ln|1?x|?C） ?x?1
,x?0,?2?1?x
设f(x)??求：?f(x?1)dx（答案见书：P273：14）
0
?1,x?0.??1?ex
例3：（15级） （1）计算积分
?
40
e?
2x?1
dx. （书P213：24类似）
12
t?1，dx?tdt， 2
且x?0时，t??1，且x?4时， t??3，
解（1）：令t??2x?1，则x?
?
40
e
?2x?1
dx??
?3?1
etdt??
t
?3?1
tde ?te|
t
t?3
?1
??
?3?1
3
etdt?(e?1?3e?3)?et|??1
?(e?1?3e?3)?(e?3?e?1)?2e?1?4e?3.
3x4?x?1
dx （2）求不定积分?
1?x23x4?x?1
dx?解2：?
1?x2
?
3x4?3x2?3x2?3?x?2
dx 2
1?x?
2
)dx 2
1?x12
?
2(3x?3??
x1?x2
?x3?3x?2arctanx??x3?3x?2arctanx?
?
12
d(1?x) 2
1?x
1
ln(1?x2)?C2
.
例4：（14级）计算广义积分
?
??1
dxx?1(x?3)
x 1 ?? t 0 ?? 2
解：令x?1?t，x?t?1，dx?2tdt ?
??1
dxx?1(x?3)
?
?
??0
??2tdtdtt
?2?arctan?0(t2?4)2t(t2?4)
??0t
limarctan?0?? =x???
22
（2）求不定积分
?xarctanxdx（与书 P255：7（6）类似）
x211
?arctanx?x?arctanx?C） （答：
222
1
?(xcoslnx?xsinlnx)?C） coslnxdx例5.（13级）（1）求不定积分?.（书P213：20相同，答：2
4?2x3,?1?x?0
（2）设f(x)???x2，计算?f(x?2)dx.
1,x?0?xe
解: 令t?x?2，x?t?2，dx?dt ， 当x?1，t??1；x?4，t?2
0
2
2
?
41
f(x?2)dx??
2?1
f(t)dt??2t3dt??te?tdt
?1
0
1
?t4
2
0
12?t2
??ed(?t2) 20?1
20
112
???e?t
22
??
1 2e4
补充1：（17级高数A试题）例1：（1）求不定积分sin2xcos2xdx. （2）计算反常积分
??
??
arctanx
3
22
0
dx.
（1?x）
18--19--1高数B--积分学---复习参考
