2013北京高考理科数学试题 第一部分 （选择题 共40分）
一、 选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
开始 i?0,S?1 S?S2?12S?1 i?i?1 i≥2否 是 输出S 结束 A.1 B.
261013 C. D. 398721x?15.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)= A.ex?1 B. e C. e?x?1 D. e?x?1
x2y26.若双曲线2?2?1的离心率为3，则其渐近线方程为
abA.y=±2x B.y=?2x C.y??21x x D.y??227.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于 A.
16248 B.2 C. D.
333?2x?y?1?0,?8.设关于x,y的不等式组?x?m?0,表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，
?y?m?0?求得m的取值范围是 A.???,??4?? B. 3?1????,?? C.
3??2????,??? D.
3??5????,???
3??第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，
?)到直线ρsinθ=2的距离等于 . 610.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= . 11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=3，
PD：DB?9：16，则PD= ；AB= .
12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .
13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa＋μb (λ，μ∈R)，则
?= . ?b a c 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
D1 C1A1 D A 网]
PB1 B E C 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程[来源:学。科。
15. (本小题共13分)
在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A. (I)求cosA的值； (II)求c的值.
16.( 本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望; （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17. (本小题共14分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，
AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求
BD的值. BC1
18. (本小题共13分) 设L为曲线C：y?(I)求L的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.
19. (本小题共14分)
lnx在点(1，0)处的切线. xx2?y2?1上的三个点，O是坐标原点. 已知A、B、C是椭圆W：4(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积; (II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
20. (本小题共13分)
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项
an?1，an?2,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn 。
(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an?4?an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； (III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
参考答案 一、 选择题： 1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 二、填空题： 9.1 10.2，211.
n?1?2
9；4 512.96 13.4 14.
25 5326?.sinAsin2A三.解答题：
15.解：（I）因为a=3，b=26，∠B=2∠A. 所以在△ABC中，由正弦定理得
所以
2sinAcosA266?.故cosA?.
sinA33632，所以sinA?1?cosA?.又因为∠B=2∠A,所以33(II)由（I）知cosA?221. cosB?2cos2A?1?.所以sinB?1?cos2B?33在△ABC中，sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?所以c?53. 9asinC?5.
sinA1,且Ai1316.解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（ i=1,2，…，13）. 根据题意, P(Ai)?Aj??(i?j).
（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B?A5A8,
2013年高考北京卷(理科数学)
