第一讲 注意添加平行线证题
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.
添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置
大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.
例1、设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到
AD使
∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 在△DBP＝∠AQC中,显然∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.
于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝AC.
这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使
证明很顺畅.
例2、如图2,四边形ABCD为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE. 证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE. BP图1QC证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.
∥PBA≌△ECD.有PA＝ED,PB＝EC. 由ABCD,易知△＝显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有
∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.由∠BAF＝∠BCE,可知
PEABGFDC图2∠BAF＝∠BPE.有P、B、A、E四点共圆.于是,∠EBA＝∠APE.所以,∠EBA＝∠ADE.
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.
2、欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3、在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PM＋PN＝PQ.
证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的 平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG. 由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC BEFANPKQ图3MDGC1 / 24
两边距离相等.有KQ＝PN. 显然,
EPEFCG＝＝,可知PG∥EC. PDFDGD由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ. 这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.
3 、为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：
AM1AM2ACAB＋＝＋.
ANANAPAQ12PN1A证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立. 若PQ与BC不平行, 设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E. 由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋M2E,
BQN2M1M2CD图4EM1EAM2MEABBEACCEAM1易知 ＝,＝,＝,＝2.
DEAN2DEAPDEAQDEAN1AM1AM2ME?M2EACABBE?CE则＋＝＝1＝＋.
AN1AN2DEAPAQDE所以,
AM1AM2ACAB＋＝＋.
ANANAQAP12这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问
题迎刃而解.
例5、AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：∠FDA＝∠EDA.
证明：如图5,过点A作BC的平行线,分别交直线DE、DF、 BE、CF于Q、P、N、M.
MPFAKQENBDKDDC显然,＝＝.有BD·AM＝DC·AN. (1)
ANKAAMBD·AMAPAFAM由＝＝,有AP＝. (2) BDFBBCBCAQAEANDC·AN由＝＝,有AQ＝. (3) DCECBCBC对比(1)、(2)、(3)有AP＝AQ.
BD图5C显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ.所以,∠FDA＝∠EDA.
这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来. 4、为了线段相等的传递
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当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN
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(AB＋AC). 4证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME. ＝90°.如果BM＋2＝DM＋DN,求证：AD＝
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AMBEDNC由BD＝DC,可知ED＝DN.有△BED≌△D. 于是,BE＝NC. 显然,MD为EN的中垂线.有 EM＝MN.
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图6由BM＋BE＝BM＋NC＝MD＋DN＝MN＝EM,可知△BEM为直角三角形,∠MBE
＝90°.有∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°.于是,∠BAC＝90°.
1?1?所以,AD＝?BC?＝(AB2＋AC2).
4?2?2
2这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路. 例7、如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF.
证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB. 易知DB2＝FB2＝AB·HB,AD2＝AE2＝AG·AB.
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CEFA二式相减,得DB－AD＝AB·(HB－AG),或 (DB－AD)·AB＝AB·(HB－AG). 图7于是,DB－AD＝HB－AG,或DB－HB＝AD－AG. 就是DH＝GD.显然,EG∥CD∥FH.故CD平分EF.
这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.
经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.
如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有
GDOHBDMAMMEMEDMBNDM＝＝,即＝或＝. BNANNCBNNCMENC此式表明,DM＝ME的充要条件是BN＝NC.
利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8如图9,ABCD为四边形,两组对边延长后得交点E、F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G.求证：EG＝GF.
ADMBN图8CEA证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N.由BD∥EF, 可知MN∥BD.易知 S△BEF＝S△DEF.有S△BEC＝S△ⅡKG－ *5ⅡDFC. 可得MC＝.所以,EG＝GF.
EMBCDN例9如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为⊙O与
FGBC、CA、AB 图93 / 24
高中数学竞赛平面几何讲座
