强化训练 函数的性质
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A．f (x)＝x C．f (x)＝2x＋2x 答案 B
1
解析 函数f (x)＝2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．
x9
2．函数f (x)＝x＋(x≠0)是( )
xA．奇函数，且在(0,3)上是增函数 B．奇函数，且在(0,3)上是减函数 C．偶函数，且在(0,3)上是增函数 D．偶函数，且在(0,3)上是减函数 答案 B
解析 因为f (－x)＝－x＋
999
x＋?＝－f (x)，所以函数f (x)＝x＋为奇函数． ＝－??x?x－x
－
1
B．f (x)＝2
xD．f (x)＝－cos x
9
又f′(x)＝1－2，在(0,3)上f′(x)<0恒成立，
x所以f (x)在(0,3)上是减函数．
3．若函数f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是( ) A．奇函数 C．非奇非偶函数 答案 A
解析 由f (x)是偶函数可得b＝0， ∴g(x)＝2ax3＋9x， ∴g(x)是奇函数．
4．(2019·湖北武汉重点中学联考)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x－1)≥－1，则x的取值范围为( ) A．(－∞，－1] C．[0,1]
B．[1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．偶函数 D．既奇又偶函数
答案 C
解析 由题意，得f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x－1)≥f (1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.
5．若定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，且f (1)＝8，则f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A．f (2 019) 解析 因为定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，所以f (x＋4)＝f (x)，即函数f (x)的周期为4，且f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所以f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2 020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝8，即f (2 019) －x＋2，x>1，?? ①f (x)＝sin x；②f (x)＝tan x；③f (x)＝?x，－1≤x≤1， ??－x－2，x<－1；同具有的性质是( ) A．周期性 C．奇函数 答案 C 解析 f (x)＝sin x为奇函数，周期为2π且有最大值； f (x)＝tan x为奇函数且周期为π，但无最大值； －x＋2，x>1， ?? 作出f (x)＝?x，－1≤x≤1， ??－x－2，x<－1大值； B．偶函数 D．无最大值 x??2，x>0， ④f (x)＝?－x则它们共 ?－2，x<0.? 的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最 x??2，x>0， 作出f (x)＝?的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值． －x，x<0－2?? 所以这些函数共同具有的性质是奇函数． 7．(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的是( ) A．f (b)－f (－a)＜g(a)－g(－b) B．f (b)－f (－a)＞g(a)－g(－b) C．f (a)＋f (－b)＜g(b)－g(－a) D．f (a)＋f (－b)＞g(b)－g(－a) 答案 AC 解析 函数f (x)为R上的奇函数，且为单调减函数， 偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合， 由a＞b＞0，得f (a)＜f (b)＜0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)； 对于A，f (b)－f (－a)＜g(a)－g(－b)?f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)＜0 (因为f (a)＝g(a)在a＞0上成立)，所以A正确； 对于B，f (b)－f (－a)＞g(a)－g(－b)?f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)＞0，这与f (b)＜0矛盾，所以B错误； 对于C，f (a)＋f (－b)＜g(b)－g(－a)?f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]＜0，这与f (a)＜f (b)符合，所以C正确； 对于D，f (a)＋f (－b)＞g(b)－g(－a)?f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]＞0，这与f (a)＜f (b)矛盾，所以D错误． 8．(多选)(2020·济南模拟)函数f (x)的定义域为R，且f (x＋1)与f (x＋2)都为奇函数，则( ) A．f (x)为奇函数 C．f (x＋3)为奇函数 答案 ABC 解析 由f (x＋1)与f (x＋2)都为奇函数知函数f (x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称， 所以f (x)＋f (2－x)＝0，f (x)＋f (4－x)＝0， 所以f (2－x)＝f (4－x)，即f (x)＝f (x＋2)， B. f (x)为周期函数 D. f (x＋4)为偶函数 所以f (x)是以2为周期的函数． 所以函数f (x)的图象关于点(－3,0)，(－2,0)，(－1,0), (0,0)对称． 3x＋?，9．(2019·衡水中学调研)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝－f ?则f (2 ?2?且f (3)＝3，022)＝________. 答案 3 3 x＋?， 解析 ∵f (x)＝－f ??2?333 x＋?＋?＝－f ?x＋?＝f (x)． ∴f (x＋3)＝f ???2?2?2???∴f (x)是以3为周期的周期函数． 则f (2 022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3. 10．已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f (x)＝|x－3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________. 答案 0 解析 因为f (x)为奇函数，f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝f (－x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x＋1)＝f (－x＋1)中，令x＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0. 11．已知函数f (x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f (x＋2)＝－f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)＝log2(x＋1)，求： (1)f (0)，f (2)，f (3)的值； (2)f (2 021)＋f (－2 022)的值． 解 (1)f (0)＝log21＝0， f (2)＝－f (0)＝0， f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log2(1＋1)＝－1. (2)依题意得，当x≥0时，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)， 即当x≥0时，f (x)是以4为周期的函数． 因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)． 而f (2)＝0，f (1)＝log2(1＋1)＝1， 故f (2 021)＋f (－2 022)＝1. 12．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数m的最大值． 解 因为g(x)－h(x)＝2x，① 所以g(－x)－h(－x)＝2－x. 又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x，② 2x＋2－x2－x－2x联立①②，得g(x)＝，h(x)＝. 22 2x－2－x4x－12 由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤x＝＝1－. 2＋2－x4x＋14x＋1 2?2?233 因为y＝1－x为增函数，所以当x∈[－1,1]时，?1－x?max＝1－＝，所以m≤， 5?4＋1?4＋14＋153 即实数m的最大值为. 5 x＋1 13．(2020·福州模拟)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图 x象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则? (xi＋yi)等于( ) i＝1m A．0 B．m C．2m D．4m 答案 B x＋1x＋11 解析 因为f (x)＋f (－x)＝2，y＝＝1＋.所以函数y＝f (x)与y＝的图象都关于点(0,1) xxxm 对称，所以?xi＝0，?yi＝×2＝m，故选B. 2 i＝1 i＝1 x??2－2，x≤0， 14．已知函数f (x)＝? 则f (2 019)＝________. ?f ?x－2?＋1，x>0，? － mm 答案 1 010 解析 当x>0时，f (x)＝f (x－2)＋1， 则f (2 019)＝f (2 017)＋1＝f (2 015)＋2＝…
2020年高考总复习基本初等函数1第二章 强化训练
