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不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为( )
π??A．y＝sin?2x－?＋1 4??
π??B．y＝sin?2x－?＋1
2??
?1π?C．y＝sin?x＋?－1
4??2?1π?D．y＝sin?x＋?－1
2??2
1
解析：选B.函数y＝sin x的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标
2保持不变)，得到y＝sin 2x，沿y轴向上平移1个单位，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴π?π??π???向右平移个单位，得到函数y＝sin?2?x－??＋1＝sin?2x－?＋1.故选B.
4??2?4???
4．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋ππ?2π?φ)?A≠0，ω>0，－<φ
?
2
2?
3
?1?A．f(x)的图象过点?0，?
?2??π2π?B．f(x)在?，?上是减函数
3??6
C．f(x)的一个对称中心是?
?5π，0?
?
?12?
5π
D．f(x)的图象的一条对称轴是x＝
12
解析：选C.因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π， 2π
所以T＝＝π，
ω所以ω＝2，即函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，
2π
又因为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)在x＝时取得最大值，
3
?2π?所以sin?2×＋φ?＝±1，
3??
2ππ
即2×＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，
32πππ
又因为－<φ<，所以φ＝，
226π??所以f(x)＝Asin?2x＋?，其中A<0；
6??πA1
对于选项A，因为f(0)＝Asin＝≠，
622所以选项A不正确；
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π?ππ?对于选项B，因为函数f(x)＝Asin?2x＋?的单调递增区间满足＋2kπ≤2x＋≤6?26?3π
＋2kπ， 2
?π2π?所以f(x)在?，?上是增函数，所以选项B不正确；
3??6
对于选项C，因为f?
?5π?＝Asin?2×5π＋π?＝0，
???126??12??
?5π，0?，即选项正确；
??12?
所以f(x)的一个对称中心是?对于选项D，因为f?
?5π?＝Asin?2×5π＋π?＝0， ???126??12??
5π
所以x＝不是f(x)图象的一条对称轴，即选项D错误．故选C.
125．(2020·杭州中学高三月考)将函数y＝2sin(ωx－
π
)(ω>0)的图象分别向左、向右4
π
各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为( )
4
1A. 2C．2
B．1 D．4
π?π?解析：选C.把函数y＝2sin?ωx－?(ω>0)的图象向左平移个单位长度后，所得图4?4?象对应的函数解析式为
ω－1???π?π??π?， y1＝2sin?ω?x＋4?－?＝2sin?ωx＋44
??????
π??π?π?向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y2＝2sin?ω?x－?－?＝
4?4?4??2sin?ωx－?
?
ω＋1?
π
4
?. ?
ω＋1
4
因为所得的两个图象对称轴重合， 所以ωx＋
ω－1
4
π＝ωx－π①，或ωx＋
ω－1
4
π＝ωx－
ω＋1
4
π＋kπ，k∈Z②.
解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k，k∈Z. 所以ω的最小值为2.故选C.
π??6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|
2??＋ω图象的对称中心的坐标为( )
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π3??2
A.?kπ＋，?(k∈Z)
242??35π3??1
C.?kπ＋，?(k∈Z)
82??2
3π2??B.?3kπ－，?(k∈Z)
83??
3π2??3
D.?kπ－，?(k∈Z)
83??2
T15π3π3π2π2
解析：选D.由题图可知＝－＝，所以T＝3π，又T＝，所以ω＝，所
2882ω3
π?2??3??π?以f(x)＝2sin?x＋φ?，因为f(x)的图象过点?π，2?，所以2sin?＋φ?＝2，所以＋
4?3??8??4?
φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．又因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)
33π2?2π?2π
＝2sin?x＋?.由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，则函数y＝f(x)＋图象4?34283?33π2??3
的对称中心的坐标为?kπ－，?(k∈Z)．
83??2
π
7．(2020·金丽衢十二校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<，
2
π2π4π2π4
f(x)的最小正周期为π，且f(0)＝3，则ω＝________，φ＝________．
π
解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f(0)＝3且|φ|<得到
2
φ＝.
答案：2
π 3
π3
8．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 收购价格y(元/斤) 1 6 2 7 3 6 4 5 选用一个函数来近似描述收购价格y(元/斤)与相应月份x之间的函数关系为________． 2π解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，
ωπ?π?所以ω＝，所以y＝sin?x＋φ?＋6.
2?2?
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?π?因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin?＋φ?＋6， ?2?
π
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，
2
ππ?ππ?可取φ＝－，所以y＝sin?x－?＋6＝6－cosx.
2?22?2π
答案：y＝6－cosx
2
9．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A(0，
?π?1)，B?，－1?，则f(x)＝________． ?3?
?π?解析：因为图象经过点A(0，1)，B?，－1?，
?3?
πTπ
A，B两个点的纵坐标互为相反数，从点A到点B经过半个周期，所以＝＝，解得
32ωω＝3.
又因为图象经过点A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)， 1
所以1＝2sin φ，即sin φ＝，
2π
所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝，
6π??所以f(x)＝2sin?3x＋?. 6??π??答案：2sin?3x＋? 6??
10．函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，
O为坐标原点，且OM·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．
→→
?1?解析：由题图可知，M?，1?，N(xN，－1)，
?2?
1→→?1?所以OM·ON＝?，1?·(xN，－1)＝xN－1＝0， 2?2?
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?1?解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×?2－?＝3. ?2?
答案：3
11．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)．
(1)求解析式；
(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52 ]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．
12π
解：(1)由图象知A＝10，·＝14－6，
2ωπ?πt?所以ω＝，所以y＝10sin?＋φ?＋b.① 8?8?
ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.
3π
当t＝6时，y＝10代入①得φ＝，
4
?π3π?所以解析式为y＝10sin?t＋?＋20，t∈[6，14]．
4??8
(2)由题意得，
?π3π?20－52≤10sin?t＋?＋20≤20＋52， 4??8
即－22?π3π?≤sin?t＋?≤， 4?22?8
ππ3ππ
所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z.
4844即8k－8≤t≤8k－4，
因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．
12．已知函数f(x)＝2sin x＋6cos x(x∈R)． (1)若α∈[0，π]且f(α)＝2，求α；
1
(2)先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图
23π
象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，求θ的
4
浙江专用2021年新高考数学一轮复习函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用教学案
