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第6讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单
应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝2πω 1ωf＝＝ T2πωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) －φ ωπφ－ 2ωωπ 2π－φωπ 3πφ－ 2ωω3π 2－A 2π－φ ω0 2π 0 A 0 0 3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的21
函数解析式为y＝sinx.( )
2
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π?π?(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin?2x－?的图象．( ) 3?3?(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
2
π
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．( )
2答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× [教材衍化]
T?1π?1．(必修4P58A组T3改编)函数y＝2sin?x－?的振幅、频率和初相分别为( )
3??2
π
A．2，4π，
3C．2，
1π，－ 4π3
B．2，
1π
， 4π3
π
D．2，4π，－
3
1ω1π
解析：选C.由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
T2π4π3
2．(必修4P62例4改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝
Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为____________________．
解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期， 11
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
2212ππ
又×＝14－6，所以ω＝. 2ω8
π3π又×10＋φ＝2π＋2k，k∈Z，取φ＝， 84
?π3π?所以y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6，14].
4??8
答案：y＝10sin?[易错纠偏]
(1)搞错图象平移的单位长度；
?πx＋3π?＋20，x∈[6，14] 4??8?
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(2)搞错横坐标伸缩与ω的关系； π
(3)搞不清f(x)在x＝处取最值；
2(4)确定不了解析式中φ的值．
π?1?1．将函数y＝2sin?2x＋?的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( ) 6?4?π?π???A．y＝2sin?2x＋? B．y＝2sin?2x＋?
4?3???π?π???C．y＝2sin?2x－? D．y＝2sin?2x－? 4?3???
π?π?解析：选D.函数y＝2sin?2x＋?的周期为π，将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平
6?6?π?1π??π?π??移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin?2?x－?＋?＝2sin?2x－?，
4?6?3?44???
故选D.
2．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．
解析：根据函数图象变换法则可得． 1
答案：y＝sinx
2
?π??ππ?3．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间?0，?上单调递增，在区间?，?上单调
3???32?
递减，则ω＝________．
πωπωππ
解析：由题意知当x＝时，函数取得最大值，所以有sin ＝1，所以＝＋
333233
2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<2，所以ω＝. 22
3
答案： 2
4．已知简谐运动f(x)＝2sin?的初相φ为________．
1π
解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以22
?πx＋φ??|φ|<π?的图象经过点(0，1)，则该简谐运动
???2??3??
φ＝.
π
答案： 6
π6
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五点法作图及图象变换
π?? (1)要得到函数y＝sin?2x－?的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象( ) 6??2π
A．向右平移个单位
9π
C．向右平移个单位
3
2π
B．向左平移个单位
9π
D．向左平移个单位
3
ππ
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当
22
x＝时，f(x)取得最大值2.
①求f(x)的解析式；
②作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)． π??【解】 (1)选C.因为y＝sin?2x－?＝
6??cos[
ππ?2π－2x?＝cos?2x－2π?＝cos[2(x－π)]，将函数y＝cos
－(2x－)]＝cos???3?263?3???
π
6
ππ??π??2x的图象向右平移个单位长度，可以得到y＝cos?2?x－??的图象，即y＝sin(2x－)
3??36??的图象，故选C.
(2)①因为函数f(x)的最小正周期是π， 所以ω＝2.
π
又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
6所以A＝2，
ππ
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
62
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
π?π?所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin?2x＋?.
6?6?π?π13π?②因为x∈[0，π]，所以2x＋∈?，，
6?6?6?列表如下：
π
6π2π2
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π2x＋ 6π 60 1 π 2π 62 π 5π 120 3π 22π 3－2 2π 11π 120 13π 6π 1 x f(x) 描点、连线得图象：
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωxπ3
＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点
22后得出图象．
②图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点
①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． ③由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为??而不是|φ|.
π??1．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)函数y＝sin?2x＋?
3??
?φ?
?ω?
?π?的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点?－，0?中心对称( ) ?12?
π
A．向左平移个单位长度
12π
B．向右平移个单位长度
12π
C．向左平移个单位长度
6π
D．向右平移个单位长度
6
浙江专用2021年新高考数学一轮复习函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用教学案
