π?
1．已知函数f (x)＝xsin x＋ax，且f′??2?＝1，则a等于( ) A．0 B．1 C．2 D．4 答案 A
π?解析 因为f′(x)＝sin x＋xcos x＋a，且f′??2?＝1， πππ
所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0.
222
x＋1
2．(2020·人大附中月考)曲线y＝在点(3,2)处的切线的斜率是( )
x－111
A．2 B．－2 C. D．－
22答案 D
?x＋1?′?x－1?－?x＋1??x－1?′
解析 y′＝
?x－1?22
＝－，
?x－1?2
故曲线在点(3,2)处的切线的斜率 21
k＝y′|x＝3＝－＝－，故选D.
2?3－1?2
x2
3．(2019·郑州质检)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )
21
A．3 B．2 C．1 D.
2答案 A
解析 设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0， 33
由y′＝x－，得x0－＝2，∴x0＝3.
xx0
f ?2?－f ?1?
4.已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是
2－1( )
A．f′(1) 解析 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f (x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵ f ?2?－f ?1? ＝a，∴易知f′(1) 2－1 4 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) ex＋1 ππ?B.??4，2? π0，? D.??4? 5．已知点P在曲线y＝3π? A.??4，π? π3π?C.??2，4? 答案 A －4 解析 求导可得y′＝x－x， e＋e＋2 ∵ex＋ex＋2≥2ex·ex＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立， ∴y′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)， 3π 又α∈[0，π)，∴≤α<π. 4 6．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为( ) A．0 B．2 C．1 D．3 答案 B 3 解析 因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1 x3 或x＝－(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B. 27．(多选)下列求导过程正确的选项是( ) 1?1A.?′＝ ?x?x21B．(x)′＝ 2x － －C．(xa)′＝axa1 ln x?1 D．(logax)′＝?′＝ ?ln a?xln a答案 BCD 解析 根据题意，依次分析选项： 1?1－1对于A，?′＝(x)′＝－，A错误； ?x?x2 1x?21(x)?对于B，(x)′＝＝×＝，B正确； 22x对于C，(xa)′＝axa1，C正确； ln x?1 对于D，(logax)′＝?′＝，D正确； ?ln a?xln a则B，C，D正确． 8．(多选)若函数f (x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f (x)的解析式可能为( ) A．f (x)＝3cos x 1C．f (x)＝x＋ x答案 BC 解析 对于A，f (x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意； 对于B，f (x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意； 11 对于C，f (x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－2，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题 xx意； 对于D，f (x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意． 1 9．已知f (x)＝x2＋2xf′(2 020)＋2 020ln x，则f′(1)＝ . 2答案 －2 021 2 020 解析 由题意，得f′(x)＝x＋2f′(2 020)＋， x所以f′(2 020)＝2 020＋2f′(2 020)＋1， 解得f′(2 020)＝－2 021， 2 020 所以f′(x)＝x＋－4 042， x所以f′(1)＝1＋2 020－4 042＝－2 021. B．f (x)＝x3＋x D．f (x)＝ex＋x － － 12110．(2019·河南息县高中月考)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为 ． 答案 2 解析 当在点P的切线与直线y＝x－2平行时，切点P到直线y＝x－2的距离最小．对函数y11 ＝x2－ln x求导，得y′＝2x－.由2x－＝1，可得切点坐标为(1,1)，故点(1,1)到直线y＝x－2 xx的距离为2，即为所求的最小值． 11．已知曲线f (x)＝xln x在点(e，f (e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值． 解 因为f′(x)＝ln x＋1， 所以曲线f (x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2， 又f (e)＝e， 则曲线f (x)＝xln x在点(e，f (e))处的切线方程为y＝2x－e. 由于切线与曲线y＝x2＋a相切， 2??y＝x＋a， 故可联立? ?y＝2x－e，? 得x2－2x＋a＋e＝0， 所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e. 12．(2020·河北卓越联盟月考)已知函数f (x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 解 (1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1. 所以曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率 k＝f′(2)＝13， 所以要求的切线方程为y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1， 3 所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16. 3又直线l过点(0,0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x0＋x0－16＝0， 整理得x30＝－8，解得x0＝－2， 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13， 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 113．(2019·宜昌三校模拟)已知函数f (x)＝x2＋cos x的图象在点(t，f (t))处的切线的斜率为k， 4则函数k＝g(t)的大致图象是( ) 答案 A 1 解析 对f (x)求导，得f′(x)＝x－sin x， 21 则k＝f′(t)＝g(t)＝t－sin t. 2 由g(t)＝－g(－t)可知，k＝g(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D； π?ππππ 又当t＝时，g?＝－sin ＝－1<0，排除C.故选A. ?2?4224 114．(2019·巴蜀期中)若曲线f (x)＝ln x＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a 2的取值范围是 ． 答案 (－∞，1] 111 解析 由题意，得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f (t))，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋ xtt1 t有解．因为t>0，所以＋t≥2(当且仅当t＝1时取等号)，所以3－a≥2，即a≤1. t 15．若函数y＝2x3＋1与y＝3x2－b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b＝ . 答案 0或－1 解析 设公共切点的横坐标为x0，函数y＝2x3＋1的导函数为y′＝6x2，y＝3x2－b的导函数 32 为y′＝6x，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x2解得x0＝0，0＝6x0且1＋2x0＝3x0－b， b＝－1或x0＝1，b＝0.故实数b＝0或－1. 16．已知函数f (x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f (x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a， 因为f′(－1)＝0， 所以3a－6－6a＝0， 所以a＝－2. (2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：3.1 导数的概念及运算 (含解析)
