(2)连结0Q，如图2，在Rt△ OPQ中，根据勾股定理得到 PQ= 最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到 值=丄「.
J ,则当OP的长
OP丄BC,则OPJOB—，所以PQ长的最大
[2 2
2
【解答】解：(1)连结OQ，如图1, ?/ PQ // AB , OP丄 PQ, ???OP 丄AB ,
在 Rt△ OBP 中，?/ tan/ B=±,
OB ? OP=3tan30 = ■:；,
在 Rt△ OPQ 中，?/ OP=_ -;, OQ=3 , ? PQ=&Q2 _ 0F?小； (2)连结OQ，如图2, 在 Rt△OPQ 中，PQ= |
- i ：上)[if -,
当OP的长最小时，PQ的长最大, 此时。卩丄BC,则。宀」, ? PQ长的最大值为 [
:['二
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.
18. (2015?滨州)如图， O O的直径 AB的长为10，弦AC的长为5, / ACB的平分线交 O O于点D .
(1 )求「的长. (2)求弦BD的长.
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求出/ BAC的度数，即可求出 / BOC的度数；最后根据弧长公式，求出
Rt △ ABC 中,
|「的长即可.
(2)首先根据CD平分/ ACB，可得/ ACD= / BCD ;然后根据圆周角定理，可得
/ AOD= / BOD，所以 AD=BD , / ABD= / BAD=45 ° 最后在 Rt△ ABD 中，求出弦 BD 的 长是多少即可.
?/ AB是O O的直径,
??? / ACB= / ADB=90 ° 在 Rt △ ABC 中，
AC 5 1
■.-::,
? / BAC=60 °
? / BOC=2 / BAC=2 >60 °120 ° I ■的长=
120XKX tlO-^2)
180
10
P71
(2) ?/ CD 平分/ ACB , ? / ACD= / BCD , ? / AOD= / BOD , ? AD=BD ,
? / ABD= / BAD=45 ° 在 Rt△ ABD 中，
Vs L
BD=AB >Sin45°10乡二刘牙
【点评】(1)此题主要考查了圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握.
(2)此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用， 握.
要熟练掌
22 /
20
(3)
的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 此题还考查了弧长①弧长公式：
匸疋婕(弧长为|，圆心角度数为n,圆的半径为R).②在弧长的计算公式中，n是表示1 lgO 的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.
19. (2015?丹东)如图，AB是O O的直径，I匸I,连接ED、BD，延长AE交BD的延 长线于点M，过点D作O O的切线交AB的延长线于点C . (1 )若OA=CD=2 .［，求阴影部分的面积； (2)求证：DE=DM .
【考点】切线的性质；扇形面积的计算. 【专题】证明题.
【分析】(1)连接OD，根据已知和切线的性质证明 △ OCD为等腰直角三角形，得到 / DOC=45 °根据S阴影=S^OCD - S扇OBD计算即可；
(2)连接AD ,根据弦、弧之间的关系证明 DB=DE ,证明△ AMD ◎△ ABD ,得到DM=BD , 答案.
【解答】(1)解：如图，连接OD , ???CD是O O切线， ???OD 丄 CD ,
? OA=CD=2 . '：, OA=OD , ? OD=CD=2 .'：,
? △ OCD为等腰直角三角形， ? / DOC= / C=45 °
...S 阴影=S^OCD - S 扇 OBD=— - ■.[ : 二
45^1 x（2^2）2
360
(2)证明：如图，连接 AD , ?/ AB是O O直径， ? / ADB= / ADM=90 °
又???「=『 ? ED=BD , / MAD= / BAD , 在厶AMD和厶ABD中,
[
ZADM=ZADB AD=AD
ZHAD=ZBAD
???△ AMD ◎△ ABD ,
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得到??? DM=BD , ? DE=DM .
【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质 定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法. 20. (2014?湖州)已知在以点 O为圆心的两个同心圆中， 图).
(1) 求证：AC=BD ;
(2) 若大圆的半径 R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长.
大圆的弦AB交小圆于点C,D(如
【考点】 垂径定理；勾股定理. 【专题】几何综合题.
【分析】(1)过O作OE丄AB，根据垂径定理得到 AE=BE , CE=DE，从而得到 AC=BD ; (2)由(1)可知，OE丄AB且OE丄CD，连接OC, OA，再根据勾股定理求出 CE及AE 的长，根据AC=AE - CE即可得出结论.
【解答】(1)证明：过 O作OE丄AB于点E, 贝U CE=DE, AE=BE,
? BE - DE=AE - CE,即卩 AC=BD ;
(2)解：由(1)可知，OE丄AB且OE丄CD，连接OC , OA, ? OE=6 ,
? CE=(0” _ 0详\护=2街,人日和护_ 曲=山2 _ /=8, ? AC=AE - CE=8 - 2 ：
【点评】本题考查的是垂径定理， 根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关 键.
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初三圆经典真题及复习资料详解
