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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
学习目标.1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一.向量的概念
思考1.在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 答案. 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向. 思考2.两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案.数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小. 梳理.向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二.向量的表示方法
思考1.向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案.可以用一条有向线段表示. 思考2.0的模长是多少？0有方向吗？ 答案.0的模长为0，方向任意. 思考3.单位向量的模长是多少？ 答案.单位向量的模长为1个单位长度.
梳理.(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
→
以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.
(2)向量的字母表示：向量可以用字母a， b， c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用→
a， b， c).
→→
→→→→
(3)向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，即有向线段AB的长度，记作|AB|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 知识点三.相等向量与共线向量
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→→
思考1.已知A，B为平面上不同两点，那么向量AB和向量BA相等吗？它们共线吗？ →→
答案.因为向量AB和向量BA方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.
思考2.向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
答案.不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.
思考3.若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 答案.不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.
梳理.(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. ①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行.
(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
类型一.向量的概念 例1.下列说法正确的是(..) →→
A.向量AB与向量BA的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量没有方向 D.任意两个单位向量都相等 答案.A
解析.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
反思与感悟.解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1.下列说法正确的有 . (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
→→
(2)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
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→→
(3)向量AB与BA是平行向量. 答案.(3)
解析.(1)错误.|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系.
→→
(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上. →→
(3)正确.向量AB和BA是长度相等，方向相反的两个向量. 类型二.共线向量与相等向量
例2.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
→
(1)写出与EF共线的向量； →
(2)写出与EF的模大小相等的向量； →
(3)写出与EF相等的向量.
解.(1)因为E、F分别是AC、AB的中点， 1
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
2
→→→→→→→→所以与EF共线的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB. →→→→→→(2)与EF模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD. →→→(3)与EF相等的向量有DB与CD.
反思与感悟.(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
跟踪训练2.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
→
(1)与OA的模相等的向量有多少个？
→
(2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ →
(3)与OA共线的向量有哪些？
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→
解.(1)与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
→
(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与OA的长度相等、方向相反的向量有→→→→
AO，OD，FE，BC，共4个.
→→
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与OA共线的向量有BC，→→→→→→→→
CB，EF，FE，AO，OD，DO，AD，DA，共9个. 类型三.向量的表示及应用
例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. →→→
(1)作出向量AB、BC、CD； →(2)求|AD|.
→→→
解.(1)向量AB、BC、CD如图所示.
→→→→
(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线， →→∵|AB|＝|CD|，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， →→→→
∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km.
反思与感悟.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
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解.(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略).
1.下列结论正确的个数是(..)
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④若|a|>|b|，则a>b. A.0 B.1 C.2 D.3 答案.B
解析.①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对. 2.下列说法错误的是(..) A.若a＝0，则|a|＝0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 答案.B
解析.零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的. →→
3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是(..)
→→A.AB＝DC →→C.AB>DC 答案.B
→→
解析.|AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
→→B.|AB|＝|DC| →→D.AB ......
人教A版数学必修四第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案
