全国名校高中数学二轮复习优质专题汇编（附详解）
圆锥曲线——直线过定点（理科）
一、（优质试题湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考试题）
如图，已知抛物线x2?2py?p?0?，其焦点到准线的距离为2，圆S:x2?y2?py?0，直线l:y?kx?p与圆和抛物线自左至右顺次交于四点A、B、C、D，
2BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，（1）若线段AB、求正数k的值； N，（2）若直线l?过抛物线焦点且垂直于直线l，直线l?与抛物线交于点M、
设AD、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ过定点．
二、(优质试题湖北省武汉市高三毕业生2月份调研考试)
．
x2y2已知A、B为椭圆T：2?2?1?a?b?0?的左、右顶点，AB?4，且离心率为22ab（1）求椭圆T的方程；
（2）若点P?x0，y0??y0?0?为直线x?4上任意一点，PA，PB交椭圆T于C，D两点，试问直线CD是否恒过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
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三、(优质试题山西省太原市高三3月模拟考试)
x2y20?，已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2?1，ab3?1，点B???在椭圆上． ?2?（1）求椭圆方程；
（2）若直线l:y?k?x?4??k?0?与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．
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答案与解析 一、（优质试题湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考试题）
【答案】（1）k?223?． ；（2）?0，，D?x2，y2?， 【解析】（1）由题意可得p?2，所以S?01圆的半径为1，设A?x1，y1?，?，
2??x?4y由?得x2?4kx?4?0，?x1?x2?4k，?y1?y2?k?x1?x2??2?4k2?2， ??y?kx?1?AB?CD?AS?DS?BC?y1?1?y2?1?2?y1?y2?4k2?2?2BC?4， ?k?22．
（2）?x1?x2?4k，y1?y2?k?x1?x2??2?4k2?2，?Q?2k，2k2?1?， 当k?0时，直线l与抛物线没有交点，所以k?0，
12k4?2k2?1?22??用?替换k可得P??k，2?1?，?kPQ?3， kkk2k?2k??k2?1所以PQ的直线方程为y?2k?1?k?x?2k?，
2??k2?13?． 化简得y?kx?3，所以直线PQ过定点?0，二、(优质试题湖北省武汉市高三毕业生2月份调研考试)
【答案】（1）【解析】 （1）依题意
x2y2??1；（2）答案见解析． 422AB?2a?4，则a?2，又e?2，c?2．?椭圆方程为：
x2y2??1． 42?,2?，B?2,0?， （2）设P?4，t?，（不妨设t?0），A?0则直线PA方程：y?t?x?2?，直线PB方程：y?t?x?2?．
62t?y??x?2??6设C?x1，y1?，D?x2，y2?，由?得18?t2x2?4t2x?4t2?72?0， ?22?x?y?1??42??全国名校高中数学二轮复习优质专题汇编（附详解）
4t2?7236?2t2则?2?x1?，则x1?18?t218?t2，于是y1?t?x1?2??612t18?t2．
，
t?y??x?2??4t2?82t2?42?2222由?22 ，得2?tx?4tx?4t?8?0，则2?x2?，则x2?22?t2?t2xy???1??42???36?2t212t??2t2?4?4t?t?4t于是y2??x2?2??2，C?，D?2，2?， ，22?218?t18?tt?2???t?2t?2?12t4t?22?2?4t?18?t2t236?2t2t?46?t2?218?t2t?2?kCD．
4t4t?2t2?4???直线CD方程为：y?2?x?2?． t?26?t2?t?2?4t6?t22t2?4?2?1， 令y?0得x?2?4tt?2t?20?． 故直线CD过点?1，三、(优质试题山西省太原市高三3月模拟考试)
【答案】（1）【解析】
x2y2??1；（2）定直线x?1． 43?a2?1?b2??9 ， 0?，?c?1，由题目已知条件知?（1）F2?1，1??4?1??a2b2?a?2，b?3，所以
x2y2??1； 43（2）证明：设M?x1，y1?，N?x2，y2?，
?y?k?x?4??2 得3?4k2x2?32k2x?64k2?12?0， ?xy2??1?3?4??32k264k2?12x2?所以x1?x2?，x1·， 223?4k3?4kylA1M:y?1?x?2? ①，
x1?2lA2N:y?y2?x?2?②， x2?2
圆锥曲线——直线过定点(理科)
