南通市2020届高三阶段性练习
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1．已知集合 M???2,?1,0,1?,N?xx?x?0，则MIN= ▲ .
2??2．已知复数
a?i为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值是 ▲ . 2?i3．某同学5次数学练习的得分依次为114,116,114,114,117，则这5次得分
的方差是 ▲ .
4．根据如图所示的伪代码，当输入的x为?1时，最后输出的m的值是
▲ .
x2y25．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心
ab率为5，则该双曲线的渐近线的方程是 ▲ .
6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同 学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 ▲ . 7．将函数f?x??sin?2x??????的图象向右平移?个单位得到函数g?x?的图象.若g?x?为奇函3?数，则?的最小正值是 ▲ .
8．已知非零向量b与a的夹角为120，且a?2,2a?b?4则b= ▲ .
o9．已知等比数列?an?的各项均为正数，且8a1,a3,6a2成等差数列，则
a7?2a8的值是 ▲ .
a5?2a610．在平面直角坐标系xOy中，已知过点?-10,0?的圆M与圆x?y?6x?6y?0相切于原点，
22 1
则圆M的半径是 ▲ .
11．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示.已知球的半径为
R，酒杯内壁表面积为
14?R2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，3V1的值是 ▲ . V2下部分(半球)的体积为V2，则
12．已知函数f?x??logax?a?1?的图象与直线y?k?x?1??k?R?相交.若其中一个交点的纵
坐标为1,则k?a的最小值是 ▲ .
?2x?4?x?1,x?013．已知函数f?x???若关于x的不等式f?x??mx?m?1?0?m?R?的解集
??x?2?2,x?0?是?x1,x2?U?x3,???，x1?x2?x3，则m的取值范围是 ▲ .
14．如图，在?ABC中，AC?3BC，点M,N分别在AC,BC上，且2AM?11CPAC，BN?BC .若BM与AN相交于点P，则的取32AB值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．
证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若2acosC?b，且sinC?sinAsinB，求B的值；
2 2
（2）若cos(2A?B)?3cosB?0，求tanAtanC的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面
BCC1B1，侧面BCC1B1是矩形，点E，F分别为BC，A1B1的
中点．
求证：（1）BC∥AC1； （2）EF∥平面ACC1A1．
17．（本小题满分14分）
如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，
B，C分别在两岸上，AB⊥AC.为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度l（即△ABC的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：
方案1：设?ABD??，求出l关于?的函数解析式f(?)，并求出f(?)的最小值. 方案2：设EC?x米，求出l关于x的函数解析式g(x)，并求出g(x)的最小值.
请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）
3
18．（本小题满分16分）
x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1（a?0,b?0）短轴的两个顶点与右
ab焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为
83． 3（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l:y?kx?m(k?0，m?0)与椭圆C交于P，Q两点，设直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2.已知
k2?k1?k2.
①求k的值；
②当△OPQ的面积最大时，求直线PQ的方程.
4
19．（本小题满分16分）
?已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，?an?1?Sn?Sn?2?Sn?1，n?N，??R．
2（1）若???3，a2??1,求a3的值；
（2）若数列{an}的前k项成公差不为0的等差数列，求k的最大值；
（3）若a2?0，是否存在??R，使{an}为等比数列？若存在，求出所有符合题意的?的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小满分16分）
对于定义在D上的函数f（x），若存在k?R，使f(x)?kx恒成立，则称f(x)为“m(k)型函数”；若存在k?R，使f(x)?kx恒成立，则称f(x)为“M(k)型函数”.
已知函数f(x)?(1?2ax)lnx(a?R).
（1）设函数h1(x)?f(x)?1（x?1）.若a?0，且h1(x)为“m(k)型函数”，求k的取值范围；
5
（2）设函数h2(x)?f(x)?11.证明：当a??，h2(x)为“M(1)型函数”； x214（3）若a?Z，证明存在唯一整数a，使得f(x)为“m()型函数”．
6
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数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
?32?已知矩阵A的逆矩阵A?? ?.
?21??1（1）求矩阵A；
（2）若向量α=??，计算A2α.
?2??1?
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
?3x?1?t，??2（t为参数）.在以坐标原点为极点，x在平面直角坐标系xOy中，已知直线??y?1t?2???轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??4cos(求点P到直线l的距离的最大值.
7
?3),设P为曲线C上的动点，
C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
若实数x，y，z满足x?2y?3z?1，求x?y?z的最小值.
222 8
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2?2px?p?0?，过点M?4p,0?的直线l交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点.当AB垂直于x轴时，?OAB的面积为22. （1）求抛物线的方程:
（2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T.
①证明: y1y2为定值:
②若OA∥TB，求直线l的斜率.
23.（本小题满分10分）
设n?N*,k?N,n?k.
kk?1Cn?1?Cn?1（1）化简:k； k?1Cn?Cn?2（2）已知?1-x?2n?a0?a1x?a2x?L?a2nx.记F?n???n?1??22nk. . ak?1k2n证明: F?n? 能被2n+1整除.
9
南通市2020届高三阶段性练习
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 已知集合M???2，?1，0，1?，N?xx2?x≤0，则MIN? ▲ ． 【答案】??1，0?
2． 已知复数a?i为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值是 ▲ ．
2?i【答案】?1
23． 某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，
则这5次得分的方差是 ▲ ． 【答案】8
54． 根据如图所示的伪代码，当输入的x为?1时，最后输出的m的值
（第4题） ??Read x If x < 0 Then m ← 2x +1 Else
是 ▲ ． 【答案】3
22y2xb?0)的离心率为5，则该双曲线 5． 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2?2?1(a?0，ab的渐近线的方程是 ▲ ．
【答案】y??2x
6． 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答．若该同学会
其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 ▲ ．
10
【答案】1
27． 将函数f(x)?sin2x?π的图象向右平移?个单位得到函数g(x)的图象．若g(x)为奇函数，
?3?则?的最小正值是 ▲ ．
【答案】π
68． 已知非零向量b与a的夹角为120?，且|a|?2，|2a+b|?4，则|b|? ▲ ．
【答案】4
9． 已知等比数列?an?的各项均为正数，且8a1，a3，则6a2成等差数列，
【答案】16
10．在平面直角坐标系xOy中，已知过点(?10， 0)的圆M与圆x2?y2?6x?6y?0相切于原点，
则圆M的半径是 ▲ ． 【答案】52 11．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的 智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑， 忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R， 酒杯内壁表面积为14πR2．设酒杯上部
3 分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积
V1的值是 ▲ ． V2 11
（第11题 图1）
a7?2a8的值是 ▲ ．
a5?2a6
（第11题 图2）
为V2，则
【答案】2
12．已知函数f(x)?logax(a?1)的图象与直线y?k(x?1)(k?R)相交．若其中一个交点的纵坐
标为1，则k?a的最小值是 ▲ ． 【答案】3
?2x?4，x≥0，x?113．已知函数f(x)??若关于x的不等式f(x)?mx?m?1?0(m?R)的解集是 ?2?x?0．?(x?2)，(x1，x2)U(x3，??)，x1?x2?x3，则m的取值范围是 ▲ ．
2)U(2，3) 【答案】(0，N分别在AC，BC上，14．如图，在△ABC中，AC?3BC，点M，且AM?1AC，BN?1BC．
322C若BM与AN相交于点P，则CP的取值范围是 ▲ ．
AB2) 【答案】(1，5MPA（第14题）
NB
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
bc． B，C的对边分别为a，，在斜三角形ABC中，角A，（1）若2acosC?b，且sin2C?sinAsinB，求B的值； （2）若cos(2A?B)?3cosB?0，求tanAtanC的值．
222【解】（1）在△ABC中，由余弦定理得2a?a?b?c?b，
2ab化简得a2?c2，即a?c．
12
…… 2分
因为sin2C?sinAsinB，且a?b?c?2R（R为△ABC外接圆半径），
sinAsinBsinC所以c2?ab，
所以c?a?b，所以△ABC为正三角形， 所以B??．
3（2）因为cos(2A?B)?3cosB?0，且B?π?(A?C)，
所以cos?π?(A?C)??3cos?π?(A?C)??0， 所以cos(A?C)??3cos(A?C)，
即cosAcosC?sinAsinC??3cosAcosC?3sinAsinC， 所以2cosAcosC?sinAsinC，
因为斜三角形ABC中，A?π，C?π，所以cosA?0，cosC?0，
22所以tanAtanC?2．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ACC1A1?平面BCC1B1，侧面BCC1B1是矩形，点
…… 14分 …… 12分 …… 8分 …… 6分 …… 4分
…… 10分
E，F分别为BC，A1B1的中点．
求证：（1）BC?AC1；
（2）EF∥平面ACC1A1．
【证】（1）因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC?CC1，
13
因为平面ACC1A1?平面BCC1B1，
平面ACC1A1I平面BCC1B1?C1C，BC?平面BCC1B1，
A1
所以BC?平面ACC1A1． …… 4分
F 因为AC1?平面ACC1A1，
B1
B
E
（第16题）
G A
C1
C
所以BC?AC1． …… 6分
（2）取A1C1的中点G，连结FG，CG．
在△A1B1C1中，F，G分别是A1B1，A1C1的中点， 所以FG∥B1C1，且FG?1B1C1．
2 在矩形BCC1B1中，E是BC的中点， 所以EC∥B1C1，且EC?1B1C1．
2 所以EC∥FG，且EC?FG． 所以四边形EFGC为平行四边形，
所以EF∥GC．
…… 12分 …… 10分
…… 8分
又因为EF?平面ACC1A1，GC?平面ACC1A1，
所以EF∥平面ACC1A1． 17. (本小题满分14分)
14
…… 14分
如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，AD相等，A到河两岸的距离AE，为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥．为B，C分别在两岸上，AB?AC．了使桥的总长度l（即△ABC的周长）最短，工程师设计了以下两种方案： 方案1：设?ABD??，求出l关于?的函数解析式f(?)，并求出f(?)的最小值． 方案2：设EC?x米，求出l关于x的函数解析式g(x)，并求出g(x)的最小值．
请从以上两种方案中自选一种解答．（注：如果选用了两种方案解答，则按第一种解答计分）
【解】方案1：（1）因为AB?AC，
所以?EAC??BAD?90?，
在Rt△ABD中，?ABD??BAD?90?， ?)．… 2分 所以?EAC??ABD??，??(0，2AαD（第17题）
ECB因为AD?AE?50，
在Rt△ADB和Rt△AEC中，AB=50，AC=50，
sin?cos?所以BC?(50)2?(50)2 sin?cos?…… 4分
?501?150?， 22sin?cos?sin?cos?1) 所以f????50(1?1?sin?cos?sin?cos??)． ?50(sin??cos??1)，其中??(0，sin?cos?2 15
…… 7分
（2）方法一：设t?sin??cos?，则t?sin??cos?=2sin(???)，
4?)，所以t?(1，2]， 因为??(0，22t因为t?1?2sin?cos?，所以sin?cos???1． 2…… 9分
2所以y?50(t?1)100?， t?1t2?12…… 12分
所以当t?2时，f(?)min?100?100?1002．
2?1答：景观桥总长的最小值为(100?1002)米．
…… 14分
方法二：f?(?)?50(cos??sin?)(?1?sin?cos??sin??cos?)， …… 10分
(sin?cos?)2?)，所以?1?sin?cos??sin??cos??0，(sin?cos?)2?0， 因为??(0，2?)时，cos??sin??0，f?(?)?0，f(?)单调递减， 当??(0，4?)时，cos??sin??0，f?(?)?0，f(?)单调递增． …… 12分 当??(?，42所以当???时，f(?)取得最小值，最小值为(100?1002)米．
4答：景观桥总长度的最小值为(100?1002)米．
…… 14分
【解】方案2：（1）因为AB?AC，
所以?EAC??BAD?90?，
在Rt△ABD中，?ABD??BAD?90?， 所以?EAC??ABD．
16
所以Rt△CAE∽Rt△ABD，
所以AC?ECABAD．
因为EC?x，AC?AE2?EC2?2500?x2，AD?50，
所以AB?502500?x2x．
2BC?AB2?AC2?5000?x2??2500?x2?x?2500x，
所以g(x)?2500?x2?502500?x2x?(x?2500x)，x?0． （2）因为x?0，
所以g(x)≥22500?x2?502500?x2x?2x?2500x
?250(2500x?x)?100
≥250?22500x?x?100?1002?100．
当且仅当2500?x2?502500?x2x，且2500x?x，
即x?50时取“?”．
所以g(x)min?100?1002，
答：景观桥总长的最小值为(100?1002)米． 18．（本小题满分16分）
1 7
…… 2分
…… 4分
…… 7分
…… 10分…… 12分…… 14分
2y2x在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?0，b?0)短轴的两个顶点与右焦点 ab的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为83．
3（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l:y?kx?m(k?0，m?0)与椭圆C交于P，OQ的斜率分别 Q两点，设直线OP，为k1，k2．已知k2?k1?k2．
y ① 求k的值；
② 当△OPQ的面积最大时，
求直线PQ的方程．
【解】（1）设椭圆的焦距为2c，则c=a?b．
因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
222P O Q （第18题图）
x 所以c?3b．
282a3，则?83， 又两准线间的距离为c33b?1， 所以a?2，所以椭圆C的标准方程为x?y2?1． 4y1)，Q(x2，y2)， （2）①设P(x1，2…… 3分
?y?kx?m，?联立?x2消去y得(4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0， 2?y?1，??4??64k2m2?4(4k2?1)(4m2?4)?0，化简得m2?4k2?1，
18
2?8km4m?4， x?x?x?x?所以12，12224k?14k?1又OP的斜率k1?y1y，OQ的斜率k2?2， x1x2y1y2(kx1?m)(kx2?m)k2x1x2?km(x1?x2)?m2??所以k?k1?k2?， x1x2x1x2x1x22…… 6分
化简得km(x1?x2)?m2?0，
km?m2?0．又因为m?0，即4k2?1， 所以km??824k?1又k?0，所以k?1．
2②由①得k?1，直线PQ的方程为y?1x?m，
22且x1?x2??2m，x1?x2?2m2?2，m2?2．
…… 8分
又m?0，所以0?m?2．
所以PQ?(x1?x2)2?(y1?y2)2
?5x1?x2?5(x1?x2)2?4x1?x2 22?5?2?m2，
m12?12?2m，
5…… 10分
点O到直线PQ的距离d???2…… 12分
所以S△OPQm2?(2?m2)222112?PQ?d?5?2?m?m?m(2?m)≤?1
2225 19
当且仅当m2?2?m2，即m??1时，△OPQ的面积最大， 所以，直线PQ的方程为y?1x?1．
219．（本小题满分16分）
2???R． 已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，?an?1?Sn?Sn?2?Sn?1，n?N，…… 16分
（1）若???3，a2??1，求a3的值；
（2）若数列?an?的前k项成公差不为0的等差数列，求k的最大值；
（3） 若a2?0，是否存在??R，使?an?为等比数列？若存在，求出所有符合题意的?的值；
若不存在，请说明理由．
2【解】记?an?1?Sn?Sn?2?Sn?1为（?）式．
2（1）当???3时，（?）式为?3an?1?Sn?Sn?2?Sn?1，
2 令n?1得，?3a2?S1?S3?S2，即?3a2?a1?(a1?a2?a3)?(a1?a2)2，
由已知a1?1，a2??1，解得a3??3．
…… 2分
（2）因为前k项成等差数列，设公差为d，则a2?1?d，a3?1?2d，
若k?3，则S2?2?d，S3?3?3d．
2在（?）式中，令n?1得，?a2?S1?S3?S2，所以?(1?d)?3?3d?(2?d)2，
化简得d2?d?1??(1?d)，①
20
…… 4分
若k?4，则S4?4?6d，
?a3?S2?S4?S32，在（?）式中，令n?2得，所以?(1?2d)?(2?d)(4?6d)?(3?3d)2，
化简得3d2?2d?1??(1?2d)，②
②?①得，2d2?d??d，因为公差不为0，所以d?0，
所以2d?1??，代入①得，d2?2d?0，所以d??2，???3． 所以k?4符合题意．
…… 6分
若k?5，则a1?1，a2??1，a3??3，a4??5，a5??7，S3??3，S4??8，S5??15,
在（?）式中，令n?3得，?3a4?S3S5??3?(?5)?(?3)?(?15)?60，S42?(?8)2?64，所以?3a4?S3S5?S42，所以k的最大值为4． …… 8分 （3）假设存在??R，使?an?为等比数列，
q，q2，则S1?1，S2?1?q，S3?1?q?q2， 设前3项分别为1，（?）式中，令n?1得，?q?(1?q?q2)?(1?q)2，化简得q(??1)?0，
因为q?a2?0，所以??1，
…… 10分
2此时（?）式为(Sn?1?Sn)?Sn?Sn?2?Sn， ?1，即Sn?1(Sn?1?1)?Sn(Sn?2?1)（??）
S3?1得S4?1，L， 由S1?1，S2?1?a2?1，得S3?1， 由S2，1?0，所以（??）等价于依次类推，Sn≥ 21
Sn?2?1Sn?1?1?， Sn?1Sn?S?1?所以数列?n?1?为常数列，
?Sn?所以
Sn?1?1S2?1??a2， SnS1…… 14分
?Sn?1?1?a2Sn，于是n≥2时，?两式相减得an?1?a2?an，
S?1?aS，2n?1?n因为a2?a2?a1，所以an?1?a2?an(n?N?)，
a2?0，所以又a1，an?1， ?a2（非零常数）
an…… 16分
所以存在??1，使?an?为等比数列．
20．（本小题满分16分）
对于定义在D上的函数f(x)，若存在k?R，使f(x)?kx恒成立，则称f(x)为“m(k)型
函数”；若存在k?R，使f(x)≥kx恒成立，则称f(x)为“M(k)型函数”．
已知函数f(x)?(1?2ax)lnx(a?R)．
（1）设函数h1(x)?f(x)?1(x≥1)．若a?0，且h1(x)为“m(k)型函数”，求k的取值范围； （2）设函数h2(x)?f(x)?1．证明：当a??1时，h2(x)为“M(1)型函数”；
x21型函数”
（3）若a?Z，证明存在唯一整数a，使得f(x)为“m．
4【解】（1）a?0时，h1(x)?lnx?1．
因为h1(x)为“m(k)型函数”，所以h1(x)?kx恒成立，即k?lnx?1恒成立．
x 22
??x≤0恒成立， 设g(x)?lnx?1(x≥1)，则g?(x)??ln2xx??)上单调递减，所以g(x)≤g(1)?1， 所以g(x)在[1，??)． 所以k的取值范围是(1，…… 3分
（2）当a??12时，要证h2(x)为“M(1)型函数”， 即证(1?x)lnx?1x≥x，即证(1?x)lnx?1x?x≥0．
方法一：令R(x)?(1?x)lnx?1x?x，
则R?(x)?lnx?(1?x)?1?112?1?lnx?1?1x?xxxx2?lnx?x2， 当x?1时，lnx?0，x?1x2?0，则R?(x)?0； 当0?x?1时，lnx?0，x?1x2?0，则R?(x)?0； 所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+?)上单调递增， 则R(x)≥R(1)，又R(1)?0，所以R(x)≥0，
所以h2(x)为“M(1)型函数”．
方法二：令F(x)?lnx?11112x2?2x?x2，则F?(x)??x2?x3??xxx3?0，所以函数F(x)在(0，+?)上单调递增，又F(1)?0， 所以当0?x?1时，R?(x)?0，当x?1时，R?(x)?0，
2 3
…… 6分
…… 8分
1)上单调递减，在(1，+?)上单调递增， 所以R(x)在(0，以下同方法一．
…… 6分
（3）函数f(x)为“m1型函数”等价于p(x)?(1?2ax)lnx?1x?0恒成立， 44当a≤0时，p(e)?(1?2ae)?e≥1?e?0，不合题意；
44当a≥2时，p(1)?2a?1?1≥1(4?e?1)?0，不合题意；
ee4ee4当a?1时，
方法一：p(x)?(1?2x)lnx?1x，
4① 当x≥1或0?x≤1时，p(x)≤0?1x?0． …… 12分
24② 当1?x?1时，1?2x?0，由（2）知lnx?x?1，
x2所以p(x)?…… 10分
??(1?2x)(x?1)1?x??1(3x?2)2≤0，
x44x综上，存在唯一整数a?1，使得f(x)为“m1型函数”．
4??…… 16分
方法二：p(x)?(1?2x)lnx?1x，p?(x)??2lnx?1?2x?1??2lnx?1?9，
x4x44 记?(x)??2lnx?1?9，则??(x)??2?12?0，
x4xx+?)上单调递减． 所以?(x)?p?(x)在(0， 易得lnx≤x?1，
所以p??22??2ln2?2?9≤2(2?1)?2?9?32?17?288?17?0；
4444 24
又因为p?1?2ln2?2?9?1?2?9?0，
244所以存在唯一零点x0?1，2，使得p?(x0)??2lnx0?1?9?0，
x0422且x0为p(x)的最大值点，
…… 12分
????(1?2x0)1?9x04?1x0?2x0?1?17， 所以p(x0)?(1?2x0)lnx0?1x0?4242x08??注意到y?2x?1?17在1，2上单调递增，
2x822所以p(x0)?p???22??2?1?17?132?17?0，
4282?? 所以p(x)?0．
综上，存在唯一整数a?1，使得f(x)为“m1型函数”． 4??…… 16分
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
2??1?3A=已知矩阵A的逆矩阵?21?．
??（1）求矩阵A；
?2?（2）若向量????，计算A2?．
?1??ab??32??ab??3a?2c3b?2d??10??1AA?【解】（1）设矩阵A=?，则??21??cd???2a?c2b?d???01?， cd?????????? 25
?3a?2c?1，?a??1，?2a?c?0，?b?2，??12???故? 解得?则矩阵A=??． …… 5分 2?33b?2d?0，c?2，???????2b?d?1，?d??3，2???12??5?8???12?2??1A=（2）由矩阵A=?，得??2?3??2?3????813?． …… 8分 2?3?????????5?8??2??2?2所以A?????1????3?． …… 10分 ?813??????B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
?3?x?1?2t，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程?（t为参数）．在以坐标原点为
1?y?t?2?．设P为曲线
极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??4cos??3C上动点，求点P到直线l距离的最大值．
???得?2?4?cos???=2?cos??23?sin?，
【解】 由??4cos??33所以曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2x?23y?0， 即(x?1)2?(y?3)2?4，圆心(1,?3)，半径r?2．
…… 3分
?????3?x?1?2t，由直线l的参数方程?得x?1?3y，
1?y?t?2所以直线l的普通方程为x?3y?1?0． 所以圆心(1,?3)到直线l的距离d?3，
…… 6分 …… 8分
…… 10分
2所以点P到直线l距离的最大值为3?2?7．
22C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
26
若实数x，，yz满足x?2y?3z?1，求x2?y2?z2的最小值． 【解】由柯西不等式，得(x?2y?3z)2≤(12?22?32)?(x2?y2?z2)，
…… 5分
即x?2y?3z≤12?22?32?x2?y2?z2， 因为x?2y?3z?1，所以x2?y2?z2≥1，
14当且仅当
x?y?z，即x?1，y?1，z?3时取等号．
12314714…… 10分
综上，x2?y2?z2的最小值为1．
14【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．出
文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2?2px(p?0)，过点M(4p，0)的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．当AB垂直于x轴时，△OAB的面积为22． （1）求抛物线的方程；
（2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T．
① 证明：y1y2为定值；
y A O B M T x ② 若OA∥TB，求直线l的斜率．
（第22题）
22p)，B(4p，?22p) 【解】（1）当AB垂直于x轴时，A(4p， 27
所以△OAB的面积为1?AB?OM?1?42p?4p?82p2?22，
22因为p?0，所以p?1， 2所以抛物线的方程为y2?x． …… 3分 （2）① 由题意可知直线l与x轴不垂直．
由（1）知M(2，0)，设A(y2，y211)，B(y2，y2)， 则ky1?y2AB?y2?y2?1． 12y1?y2由A，M，B三点共线，得y1y21?2?y2y2， 2?2因为y1?y2，化简得y1y2??2． ② 因为y1y2??2，所以B(4y，?2)． 12y1因为线段AB垂直平分线的方程为
y?y1?y2y12?y222??(y1?y2)(x?2)，
令y?0，得xy12?y22?1T?2?12(y12?4y12?1)． 因为OA∥TB，所以kOA?kTB，
2即1y?y1，整理得(y12?1)(y12?4)?0， 11(y2?4y?1)?42112y12解得y1??2，故A(4，?2)． 2 8
…… 5分 …… 7分 所以kAM??1，即直线l的斜率为?1． …… 10分
23．(本小题满分10分)
设n?N?，k?N，≥nk． （1）化简：Ckk?1n?1?Cn?1Ck?Ck?1；
nn?2（2）已知(1?x)2n?a22n2n0?a1x?a2x?L?a2nx，记F(n)?(n?1)?k．
k?1ak证明：F(n)能被2n?1整除．
(n?1)!kk?1【证】（1）证明：
Cn?1?Cn?1Ck?Ck?1?k!(n?1?k)!?(n?1)!(k?1)!(n?k)!nn?2(n?2)!
k!(nn?!k)!?(k?1)!(n?1?k)!?(n?1)?n!?(n?1)!n?1n!(n?2)?(n?1)!?n?2． （2）证明：由（1）得，1n?1Ck?1n?2n?1Ckk?1n?1Ck??2?Ckk?1??+Cn?1kk?1nnn?1?Cn?1n?2Cn?1?C n?1?n?1n?2??1C?1k?1?． n?1Ckn?1因为k(?1)kk2n?1?(?a?Ck???1)kk?(?1)kk?kk?1?， k2n2n?2?C2n?1C2n?1?2n所以F(n)?(n?1)?2nk?2n?1?(?1)kk(?1)k?k?1ak2??k?k?k?1?， k?1?C2n?1C2n?1?2 9
…… 3分…… 6分
?(?1)kk(?1)kk?因为??k?k?1?
C2n?1?k?1?C2n?12n1?2?L??2n?1?2n)?(?1?2?L??2n?1?2n) ?(?22n?12n22n2n?1C1C2C2C2C2C3C2C22n?1n?1n?1n?1n?12n?1n?1n?11?(2??1)?L?(2n??2n?1)?2n??1222n2n2n?1C2n?1C2C2C2C2C2n?1n?1n?1n?1n?11?1?L??1?1)?2n?2n． ?(?122n?12n2n?1C2n?1C2C2C2C2n?1n?1n?1n?1所以F(n)?(n?1)?k?2n?1?2n?n(2n?1)能被2n?1整除．
2k?1ak
2n
…… 10分
y A M B （第22题）
O T x 30
江苏省南通市2020届高三下学期阶段性练习数学试题 Word版含答案
