一、填空题（共21分 每小题3分）
?z?y2?1221．曲线?绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为z?x?y?1．
?x?0?x?3t?x?2y?4z?2．直线L1:． ??与直线L2:?y??1?3t的夹角为
2?2?53?z?2?7t?2223．设函数f(x,y,z)?x?2y?3z，则gradf(1,1,1)?{2,4,6}．
4．设级数
un??un收敛，则nlim??n?1?0．
?0,???x?05．设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)?? 则它的傅里叶级数在x??处
?1?x,0?x??,收敛于
1??2．
6．全微分方程ydx?xdy?0的通解为
xxy?C．
7．写出微分方程y???y??2y?e的特解的形式
y*?axex．
二、解答题（共18分 每小题6分）
?x?2y?z?3?01．求过点(1,?2,1)且垂直于直线?的平面方程．
?x?y?z?2?0???ijk??解：设所求平面的法向量为n，则n?1?21??1,2,3? (4分)
11?1所求平面方程为 x?2y?3z?0 (6分) 2．将积分
???f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分，其中?是曲面
? z?2?(x?y)及z?222x2?y2所围成的区域．
解： ?: r?z?2?r, 0?r?1, 0???2? (3分)
????f(x,y,z)dv??d??rdr?002?12?r2rf(rcos?,rsin?,z)dz (6分)
3．计算二重积分I???eD?(x2?y2)dxdy，其中闭区域D:x2?y2?4.
解 I??02?d??e02?r22?r212?1?42rdr???0d??0ed(?r)???2??0de?r??(1?e)
2222 三、解答题（共35分 每题7分）
221．设z?ue，而u?x?y，v?xy，求dz．
v解：
?z?z?u?z?v?????ev?2x?uev?y?exy(2x?x2y?y3) ?x?u?x?v?x(3分)
?z?z?u?z?v?????ev?2y?uev?x?exy(2y?x3?xy2) (6分) ?y?u?y?v?ydz?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(2y?x3?xy2)dy (7分)
?z?z,2．函数z?z(x,y)由方程e?xyz?0所确定，求． ?x?yz解：令F(x,y,z)?e?xyz， (2分)
z则 Fx??yz, Fy??xz, Fz?e?xy, (5分)
zFy?zxzFx?zyz???z ， ． (7分) ???z?yFze?xy?xFze?xy3．计算曲线积分向弧段．
解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林
公式
?L?ydx?xdy，其中L是在圆周y?2x?x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有
?L?ydx?xdy???2dxdy??OA?ydx?xdy (5分)
D ?2?4．设曲线积分求f(x)．
?2?0?? (7分)
?L[ex?f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关，其中f(x)是连续可微函数且满足f(0)?1，
?P?Qx?解： 由 得 e?f(x)?f?(x)， ?y?x即f?(x)?f(x)?e (3分)
x?(?1)dx(ex?e??dxdx?C)?ex(x?C)， (6分) 所以 f(x)?e?? 代入初始条件，解得C?1，所以f(x)?e(x?1)． (7分)
x(n!)25．判断级数?的敛散性．
n?1(2n)!?un?1[(n?1)!]2?lim解： 因为 limn??un??(2n?2)!n(n!)2 (3分) (2n)!1(n?1)2??1 (6分) ?limn??(2n?2)(2n?1)4故该级数收敛． (7分)
四、（7分）计算曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是上半球
?面z?1?x?y的上侧．
解：添加辅助曲面?1:z?0,x?y?1，取下侧，则在由?1和?所围成的空间闭区域?上应用高斯公式得
2222??xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy
????1 ???xdydz?ydzdx?zdxdy (4分)
?1 ?3???dv?0 (6分)
?14? ?3???2?． (7分)
23 五、（6分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．
解：设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z，则x?y?z?2?，
12 且面积为A?R(sinx?siny?sinz)，
2 令F?sinx?siny?sinz??(x?y?z?2?) (3分)
?Fx?cosx???0?F?cosy???02??y由 ? (4分)得x?y?z?．此
3?Fz?cosz???0??x?y?z?2?
高等数学(下册)期末复习试题及答案
